Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
f(x)=x \operatorname{sen}(x / 2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Para isso, vamos usar a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(u) e depois fazer u=x/2 e multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de \operatorname{sen}(u) é
\operatorname{sen}(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Substituindo u=\tfrac{x}{2} obtemos
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\, \frac{\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\, \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!\,2^{2n+1}}.

Passo 4

Multiplicando por x para obter f(x):
f(x)=x\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\, \frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!\,2^{2n+1}}.

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos (para n=0,1,2,\dots):
f(x) =\frac{x^{2}}{1!\,2^{1}} -\frac{x^{4}}{3!\,2^{3}} +\frac{x^{6}}{5!\,2^{5}} -\frac{x^{8}}{7!\,2^{7}} +\cdots =\frac{x^{2}}{2} -\frac{x^{4}}{48} +\frac{x^{6}}{3840} -\frac{x^{8}}{645120} +\cdots.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=x\operatorname{sen}(x/2) é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\, \frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!\,2^{2n+1}} =\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{48}+\frac{x^{6}}{3840}-\cdots.

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