Expresse a integral \iint(y-x) d x d y, onde B é a região triangular no plano-xy com vértices (0,0),(2,0) e (2,4), como uma integral dupla iterada sobre uma região \quad \boldsymbol{B}_{u v} \quad no plano-uv fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
a) escolhida por você;
b) u=x-\frac{y}{2}, v=\frac{y}{2}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\iint_{B}(y - x)\,dx\,dy
onde B é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (2,4), como uma integral dupla iterada sobre uma região B_{uv} no plano uv. Para isso precisamos:
  1. escolher (ou usar) uma transformação (x,y)\mapsto(u,v),
  2. determinar a imagem B_{uv},
  3. calcular a jacobiana \bigl|\det\partial(x,y)/\partial(u,v)\bigr|,
  4. escrever y - x em função de u,v e montar o integral iterado.

Passo 2

Escolho para (a) a transformação
u = x,\quad v = \frac{y}{2}.
Então
x = u,\quad y = 2v,
e a jacobiana é
\Bigl|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr| = \begin{vmatrix}1 & 0\\\ 0 & 2\end{vmatrix} = 2.
A região B em xy satisfaz 0\le x\le 2 e 0\le y\le 2x. Em uv isso vira
0\le u\le 2,\quad 0\le v\le u.
O integrando torna-se
y - x = 2v - u,
logo
(y-x)\,dx\,dy = (2v - u)\cdot 2\,du\,dv.
Portanto a integral é
\int_{u=0}^{2}\!\int_{v=0}^{u}2\,(2v - u)\,dv\,du.

Passo 3

Para (b) usamos
u = x - \frac{y}{2},\quad v = \frac{y}{2}.
Invertendo,
x = u + v,\quad y = 2v,
e a jacobiana é
\Bigl|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr| = \begin{vmatrix}1 & 1\\\ 0 & 2\end{vmatrix} = 2.
Nos vértices de B:
(0,0)\to(u,v)=(0,0),\; (2,0)\to(2,0),\; (2,4)\to(2-2,2)=(0,2).
Logo em uv temos
u\ge0,\quad v\ge0,\quad u+v\le 2.
O integrando vira
y - x = 2v - (u+v) = v - u,
e
(y-x)\,dx\,dy = (v-u)\cdot 2\,du\,dv.
Então a integral é
\int_{u=0}^{2}\!\int_{v=0}^{2-u}2\,(v - u)\,dv\,du.

Resposta

(a)
\iint_{B}(y - x)\,dx\,dy =\int_{u=0}^{2}\!\int_{v=0}^{u}2\,(2v - u)\,dv\,du.
(b)
\iint_{B}(y - x)\,dx\,dy =\int_{u=0}^{2}\!\int_{v=0}^{2-u}2\,(v - u)\,dv\,du.

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