Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
\frac{x}{\sqrt{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}
como uma série de potências a partir da série binomial, e também determinar o raio de convergência. Vamos usar o desenvolvimento
(1 + t)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}\,t^n,\quad |t|<1,
com \alpha=-\tfrac12.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\frac1{\sqrt{1-x}} = (1 - x)^{-\tfrac12}.
Aplicando a fórmula da série binomial com t=-x e \alpha=-\tfrac12, temos
(1 - x)^{-\tfrac12} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\tfrac12}{n}(-x)^n.

Passo 3

Agora usamos o fato conhecido de que
\binom{-\tfrac12}{n}(-1)^n = \frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2},
o que dá a expansão clássica
(1 - x)^{-\tfrac12} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\;x^n.

Passo 4

Multiplicamos termo a termo por x para obter f(x):
f(x)=x\,(1 - x)^{-\tfrac12} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\;x^{n+1}.
Reindexando com k=n+1, isto é, n=k-1, fica
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\binom{2(k-1)}{\,k-1\,}}{4^{\,k-1}}\;x^k.

Passo 5

O raio de convergência dessa série é o mesmo de (1-x)^{-\tfrac12}, ou seja
|x|<1.

Resposta

\frac{x}{\sqrt{1-x}} =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\binom{2(k-1)}{\,k-1\,}}{4^{\,k-1}}\;x^k, \quad\text{com raio de convergência }R=1.ê

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