Encontre o polinômio de Taylor T_{n}(x) da função f centrada no número a.
f(x)=1 / \sqrt[3]{x}, \quad a=8, \quad n=3

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=3 da função
f(x)=x^{-\tfrac13}
centrado em a=8. O conteúdo usado é a série de Taylor, que aproxima f por um polinômio cujos coeficientes vêm das derivadas de f em a.

Passo 2

A expressão geral do polinômio de Taylor de ordem 3 centrado em a é
T_3(x)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.
Portanto, precisamos de f(a), f'(a), f''(a) e f'''(a).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=x^{-\tfrac13}:
f'(x)=-\tfrac13\,x^{-\tfrac43},
f''(x)=(-\tfrac13)(-\tfrac43)\,x^{-\tfrac73}=\tfrac49\,x^{-\tfrac73},
f'''(x)=\tfrac49\cdot(-\tfrac73)\,x^{-\tfrac{10}{3}}=-\tfrac{28}{27}\,x^{-\tfrac{10}{3}}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=8 (e lembramos que 8=2^3):
f(8)=8^{-\tfrac13}=2^{-1}=\tfrac12,
f'(8)=-\tfrac13\cdot8^{-\tfrac43}=-\tfrac13\cdot2^{-4}=-\tfrac1{48},
f''(8)=\tfrac49\cdot8^{-\tfrac73}=\tfrac49\cdot2^{-7}=\tfrac1{288},
f'''(8)=-\tfrac{28}{27}\cdot8^{-\tfrac{10}{3}}=-\tfrac{28}{27}\cdot2^{-10}=-\tfrac7{6912}.

Passo 5

Substituindo em
T_3(x)=f(8)+f'(8)(x-8)+\tfrac{f''(8)}{2!}(x-8)^2+\tfrac{f'''(8)}{3!}(x-8)^3
temos
T_3(x)=\tfrac12-\tfrac1{48}(x-8)+\frac{1/288}{2}(x-8)^2+\frac{-7/6912}{6}(x-8)^3
e, simplificando,
T_3(x)=\tfrac12-\tfrac1{48}(x-8)+\tfrac1{576}(x-8)^2-\tfrac7{41472}(x-8)^3.

Resposta

T_3(x)=\tfrac12-\tfrac1{48}(x-8)+\tfrac1{576}(x-8)^2-\tfrac7{41472}(x-8)^3.

Exercícios relacionados