Aproxime a raiz de
\cos \left(e^{x}\right)+x-2=0
contida no intervalo [1,2] pelo método da bisseção até que \left|f\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon e \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<\varepsilon com \varepsilon=0.01.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
\cos\bigl(e^{x}\bigr) + x - 2 = 0
no intervalo [1,2] usando o método da bisseção até que
\bigl|f(x_{k})\bigr|<\varepsilon e \bigl|x_{k}-x_{k-1}\bigr|<\varepsilon
com \varepsilon=0{,}01.
O conteúdo aqui é métodos numéricos de localização de raízes e vamos precisar de continuidade de f e do critério de mudança de sinal para aplicar a bisseção.

Passo 2

Definimos
f(x)=\cos\bigl(e^{x}\bigr)+x-2.
Primeiro verificamos a existência de raiz em [1,2] avaliando os extremos:
f(1)=\cos(e)+1-2=\cos(2{,}718\ldots)-1\approx -1{,}91,
f(2)=\cos(e^{2})+2-2=\cos(7{,}389\ldots)\approx 0{,}45.
Como f(1)\cdot f(2)<0, há ao menos uma raiz em [1,2].

Passo 3

No método da bisseção, em cada iteração calculamos
x_{k}=\frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2},
avaliamos f(x_{k}) e escolhemos o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal. Fazendo isso até k=4:
– k =1: a_{0}=1, b_{0}=2,
\displaystyle x_{1}=\frac{1+2}{2}=1{,}500,\;f(1{,}500)\approx -0{,}728 \Rightarrow novo intervalo [1{,}500,2].
– k =2: a_{1}=1{,}500, b_{1}=2,
\displaystyle x_{2}=1{,}750,\;f(1{,}750)\approx +0{,}613 \Rightarrow novo intervalo [1{,}500,1{,}750].
– k =3: a_{2}=1{,}500, b_{2}=1{,}750,
\displaystyle x_{3}=1{,}625,\;f(1{,}625)\approx -0{,}026 \Rightarrow novo intervalo [1{,}625,1{,}750].
– k =4: a_{3}=1{,}625, b_{3}=1{,}750,
\displaystyle x_{4}=1{,}6875,\;f(1{,}6875)\approx +0{,}327 \Rightarrow novo intervalo [1{,}625,1{,}6875].

Passo 4

Continuando as iterações até aproximar bem:
– k =5: \displaystyle x_{5}=1{,}65625,\;f(1{,}65625)\approx +0{,}156 \Rightarrow [1{,}625,1{,}65625].
– k =6: \displaystyle x_{6}=1{,}640625,\;f(1{,}640625)\approx +0{,}065 \Rightarrow [1{,}625,1{,}640625].
– k =7: \displaystyle x_{7}=1{,}6328125,\;f(1{,}6328125)\approx +0{,}022.
Aqui \bigl|x_{7}-x_{6}\bigr|=0{,}0078<0{,}01, mas \bigl|f(x_{7})\bigr|=0{,}022>0{,}01, então falta a condição em f(x).

Passo 5

Fazemos a oitava iteração:
– k =8:
\displaystyle x_{8}=\frac{1{,}625+1{,}6328125}{2}=1{,}62890625,
f\bigl(1{,}62890625\bigr)\approx -0{,}0071.
Verificamos
\bigl|x_{8}-x_{7}\bigr|=0{,}0039<0{,}01
e
\bigl|f(x_{8})\bigr|=0{,}0071<0{,}01.
Ambas as condições de parada estão satisfeitas.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1{,}62890625.

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