Aproxime a raiz de
e^{x}-5 \operatorname{sen} x=0
contida no intervalo [1,3] até que \left|f\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon e \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<\varepsilon com \varepsilon=0.0001 pelo método de Newton utilizando uma aproximação inicial que garante a convergência. (utilize todos os cálculos em radianos).

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
e^{x}-5\operatorname{sen} x=0
no intervalo [1,3] com precisão \varepsilon=10^{-4} usando o método de Newton. Vamos precisar da definição de f(x), de sua derivada f'(x) e da fórmula de iteração de Newton:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.

Passo 2

Definimos
f(x)=e^{x}-5\operatorname{sen} x,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-5\operatorname{sen} x\bigr)=e^{x}-5\cos x.
A iteração de Newton fica
x_{k+1}=x_k-\frac{e^{x_k}-5\operatorname{sen} x_k}{\,e^{x_k}-5\cos x_k\,}.

Passo 3

Como f(1)=e-5\sen1<0 e f(2)=e^2-5\sen2>0, existe raiz em (1,2). Além disso, em [1,2] tem-se f'(x)=e^x-5\cos x>0, garantindo convergência. Tomamos x_0=1,5.

Passo 4

Com x_0=1,5:
f(1{,}5)=4{,}4817-5\cdot0{,}99749=-0{,}50574,
f'(1{,}5)=4{,}4817-5\cdot0{,}07074=4{,}1280,
x_1=1{,}5-\frac{-0{,}50574}{4{,}1280}=1{,}62252.

Passo 5

Com x_1=1{,}62252:
f(1{,}62252)=5{,}0684-5\cdot0{,}99886=0{,}07412,
f'(1{,}62252)=5{,}0684-5\cdot(-0{,}04747)=5{,}3058,
x_2=1{,}62252-\frac{0{,}07412}{5{,}3058}=1{,}60855.

Passo 6

Com x_2=1{,}60855:
f(1{,}60855)=4{,}99642-5\cdot0{,}99999=-0{,}003515,
f'(1{,}60855)=4{,}99642-5\cdot(-0{,}03775)=5{,}18515,
x_3=1{,}60855-\frac{-0{,}003515}{5{,}18515}=1{,}60923.

Passo 7

Em x_3=1{,}60923 temos
\lvert f(x_3)\rvert\approx3{,}3\times10^{-6}<10^{-4}
e
\lvert x_3-x_2\rvert=0{,}00068>10^{-4},
ou seja, só falta a segunda condição. Uma iteração adicional:
x_4=1{,}60923-\frac{3{,}3\times10^{-6}}{5{,}19}\approx1{,}6092271
aqui
\lvert x_4-x_3\rvert\approx6{,}4\times10^{-7}<10^{-4}
e \lvert f(x_4)\rvert\ll10^{-4}.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx1{,}60923.

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