Aproxime a raiz de
x^{2}-e^{x}=0
pelo método de Newton a partir da aproximação inicial x_{0}=3 até que \left|f\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon e \left|x_{k}-x_{k-1}\right|<\varepsilon \operatorname{com} \varepsilon=0.0001.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução da equação
x^{2} - e^{x} = 0
usando o método de Newton com chute inicial x_{0}=3 até que
\bigl|f(x_{k})\bigr|<\varepsilon e \bigl|x_{k}-x_{k-1}\bigr|<\varepsilon
com \varepsilon=0{,}0001. O conteúdo aqui é iteração de Newton, para o qual precisamos de f(x) e f'(x).

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{2} - e^{x}, \quad f'(x) = 2x - e^{x}.
No método de Newton, atualizamos
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula começando em x_{0}=3.
Passamos por várias iterações:
— Iteração 1 ( n=0):
f(3)=9 - e^{3}\approx -11{,}085537, \quad f'(3)=6 - e^{3}\approx -14{,}085537,
x_{1} = 3 - \frac{-11{,}085537}{-14{,}085537}\approx 2{,}212974.

Passo 4

Iterações 2 e 3:
— Iteração 2 ( n=1):
f(2{,}212974)\approx 4{,}897416 - 9{,}142600 = -4{,}245184, \quad f'(2{,}212974)\approx 4{,}425948 - 9{,}142600 = -4{,}716652,
x_{2} = 2{,}212974 - \frac{-4{,}245184}{-4{,}716652}\approx 1{,}312952.
— Iteração 3 ( n=2):
f(1{,}312952)\approx 1{,}723751 - 3{,}722000 = -1{,}998249, \quad f'(1{,}312952)\approx 2{,}625904 - 3{,}722000 = -1{,}096096,
x_{3} = 1{,}312952 - \frac{-1{,}998249}{-1{,}096096}\approx -0{,}510404.

Passo 5

Iterações 4 e 5:
— Iteração 4 ( n=3):
f(-0{,}510404)\approx 0{,}260518 - 0{,}600413 = -0{,}339895, \quad f'(-0{,}510404)\approx -1{,}020808 - 0{,}600413 = -1{,}621221,
x_{4} = -0{,}510404 - \frac{-0{,}339895}{-1{,}621221}\approx -0{,}720000.
— Iteração 5 ( n=4):
f(-0{,}720000)\approx 0{,}518400 - 0{,}486752 = 0{,}031648, \quad f'(-0{,}720000)\approx -1{,}440000 - 0{,}486752 = -1{,}926752,
x_{5} = -0{,}720000 - \frac{0{,}031648}{-1{,}926752}\approx -0{,}703619.

Passo 6

Iterações 6 e 7, até atender aos dois critérios:
— Iteração 6 ( n=5):
f(-0{,}703619)\approx 0{,}495081 - 0{,}494884 = 0{,}000197, \quad f'(-0{,}703619)\approx -1{,}407238 - 0{,}494884 = -1{,}902122,
x_{6} = -0{,}703619 - \frac{0{,}000197}{-1{,}902122}\approx -0{,}703523,
com \bigl|x_{6}-x_{5}\bigr|\approx 9{,}6\times10^{-5}<\varepsilon mas \bigl|f(x_{6})\bigr|\approx3{,}2\times10^{-5}<\varepsilon.
— Iteração 7 ( n=6):
f(-0{,}703523)\approx -3{,}2\times10^{-5}, \quad f'(-0{,}703523)\approx -1{,}901900,
x_{7} = -0{,}703523 - \frac{-3{,}2\times10^{-5}}{-1{,}901900}\approx -0{,}7034728.
Agora
\bigl|x_{7}-x_{6}\bigr|\approx1{,}7\times10^{-5}<\varepsilon
e
\bigl|f(x_{7})\bigr|\approx5\times10^{-6}<\varepsilon,
logo convergiu.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx -0,70347.

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