Aproxime a raiz de
e^{x}-5 \operatorname{sen} x=0
contida no intervalo [1,3] até que \left|f\left(x_{k}\right)\right|<0.01 pelo método da bisseção (utilize todos os cálculos em radianos).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x) = e^{x} - 5 \operatorname{sen} x = 0
no intervalo [1,3] até que \bigl|f(x_{k})\bigr|<0{,}01, usando o método da bisseção. Vamos precisar avaliar f nos extremos, calcular pontos médios sucessivos e escolher o subintervalo onde ocorre a troca de sinal de f.

Passo 2

Calculamos f em x=1 e x=3 para verificar que há troca de sinal:
f(1) = e^{1} - 5\operatorname{sen}(1) \approx 2{,}7183 - 5\cdot0{,}8415 = -1{,}4891,
f(3) = e^{3} - 5\operatorname{sen}(3) \approx 20{,}0855 - 5\cdot0{,}1411 = 19{,}3799.
Como f(1)<0 e f(3)>0, há pelo menos uma raiz em [1,3].

Passo 3

Tomamos o ponto médio x_{1} = \tfrac{1+3}{2} = 2 e avaliamos
f(2) = e^{2} - 5\operatorname{sen}(2) \approx 7{,}3891 - 5\cdot0{,}9093 = 2{,}8426.
Como f(2)>0 e f(1)<0, a raiz está em [1,2].

Passo 4

O próximo médio é x_{2} = \tfrac{1+2}{2} = 1{,}5. Calculamos
f(1{,}5) = e^{1{,}5} - 5\operatorname{sen}(1{,}5) \approx 4{,}4817 - 5\cdot0{,}9975 = -0{,}5058.
Como f(1{,}5)<0 e f(2)>0, a raiz está em [1{,}5,2].

Passo 5

Agora x_{3} = \tfrac{1{,}5+2}{2} = 1{,}75. Avaliamos
f(1{,}75) = e^{1{,}75} - 5\operatorname{sen}(1{,}75) \approx 5{,}7530 - 5\cdot0{,}9840 = 0{,}8330.
Como f(1{,}75)>0 e f(1{,}5)<0, a raiz está em [1{,}5,1{,}75].

Passo 6

Médio de [1{,}5,1{,}75]: x_{4} = 1{,}625.
f(1{,}625) = e^{1{,}625} - 5\operatorname{sen}(1{,}625) \approx 5{,}0668 - 5\cdot0{,}9985 = 0{,}0747.
Como f(1{,}625)>0 e f(1{,}5)<0, a raiz está em [1{,}5,1{,}625].

Passo 7

Médio de [1{,}5,1{,}625]: x_{5} = 1{,}5625.
f(1{,}5625) = e^{1{,}5625} - 5\operatorname{sen}(1{,}5625) \approx 4{,}7670 - 5\cdot0{,}9999 = -0{,}2330.
Como f(1{,}5625)<0 e f(1{,}625)>0, a raiz está em [1{,}5625,1{,}625].

Passo 8

Médio de [1{,}5625,1{,}625]: x_{6} = 1{,}59375.
f(1{,}59375) \approx e^{1{,}59375} - 5\operatorname{sen}(1{,}59375) \approx 4{,}9168 - 5\cdot0{,}9997 = -0{,}0817.
Como f(1{,}59375)<0 e f(1{,}625)>0, a raiz está em [1{,}59375,1{,}625].

Passo 9

Médio de [1{,}59375,1{,}625]: x_{7} = 1{,}609375.
f(1{,}609375) \approx e^{1{,}609375} - 5\operatorname{sen}(1{,}609375) \approx 5{,}0000 - 5\cdot0{,}9993 = 0{,}0037.
Agora \bigl|f(1{,}609375)\bigr|\approx0{,}0037<0{,}01, então podemos parar.

Resposta

A aproximação da raiz é
x \approx 1{,}609375.

Exercícios relacionados