Considere a integral
\int_{0}^{2} e^{x} \mathrm{~d} x
(a) Calcule o número mínimo m de subintervalos para aproximar a integral dada com erro E<2 \times 10^{-3} em cada uma das 3 primeiras fórmulas de Newton-Cotes.
(b) Aproxime a integral dada com a regra que exige o menor número m de subintervalos sob as condições do item anterior.
(c) Verifique que a aproximação fornece resultado com erro menor do que 2 \times 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{2} e^{x}\,\mathrm{d}x
usando as três primeiras fórmulas fechadas de Newton–Cotes (trapézio, Simpson e 3/8), de modo que o erro seja menor que 2\times10^{-3}. Para cada fórmula vamos:
– Escrever o limite de erro composto em função de m.
– Determinar o m mínimo que garante E<2\times10^{-3}.
Depois, escolhemos a regra que dá o menor m, aplicamos e verificamos o erro real.

Passo 2

Fórmula do trapézio composto: se h=\tfrac{2}{m} e f''(x)=e^x, então
E_T \le \frac{(b-a)h^2}{12}\max_{[0,2]}|f''(x)| = \frac{2\,h^2}{12}\,e^2 = \frac{2e^2}{12}\Bigl(\frac{2}{m}\Bigr)^2 = \frac{2e^2}{3m^2}.
Impondo \tfrac{2e^2}{3m^2}<2\times10^{-3}
m^2>\frac{2e^2}{3\cdot2\times10^{-3}} \approx1231{,}5 \quad\Longrightarrow\quad m\ge36.

Passo 3

Fórmula de Simpson composta: h=2/m, f^{(4)}(x)=e^x,
E_S \le \frac{(b-a)h^4}{180}\max_{[0,2]}|f^{(4)}(x)| = \frac{2\,h^4}{180}\,e^2 = \frac{2e^2}{180}\Bigl(\frac{2}{m}\Bigr)^4 = \frac{8e^2}{45m^4}.
Queremos \tfrac{8e^2}{45m^4}<2\times10^{-3}, então
m^4>\frac{8e^2}{45\cdot2\times10^{-3}} \approx656{,}8 \quad\Longrightarrow\quad m\ge 6,
lembrando que Simpson exige m par.

Passo 4

Fórmula 3/8 composta: h=2/m,
E_{3/8}\le \frac{(b-a)h^4}{80}\max_{[0,2]}|f^{(4)}(x)| = \frac{2\,h^4}{80}\,e^2 = \frac{2e^2}{80}\Bigl(\frac{2}{m}\Bigr)^4 = \frac{2e^2}{5m^4}.
Impondo \tfrac{2e^2}{5m^4}<2\times10^{-3}
m^4>\frac{2e^2}{5\cdot2\times10^{-3}} \approx1477{,}8 \quad\Longrightarrow\quad m\ge7,
e como 3/8 composto pede m múltiplo de 3, tomamos m=9.

Passo 5

Entre m_T=36, m_S=6 e m_{3/8}=9, o menor é m=6 (regra de Simpson).
Usamos h=2/6=1/3 e a fórmula
\int_0^2e^x\approx\frac{h}{3}\Bigl[f_0+4f_1+2f_2+4f_3+2f_4+4f_5+f_6\Bigr],
com x_k= k/3, f_k=e^{x_k}. Calculando:
f_0=1,\; f_1\approx1{,}3956,\; f_2\approx1{,}9477,\; f_3\approx2{,}7183,\; f_4\approx3{,}7937,\; f_5\approx5{,}2945,\; f_6\approx7{,}3891.
Logo a soma ponderada é
1+7{,}3891+4(1{,}3956+2{,}7183+5{,}2945) +2(1{,}9477+3{,}7937)\approx57{,}5054,
e como h/3=1/9,
I_S\approx\frac{1}{9}\times57{,}5054\approx6{,}38949.

Passo 6

O valor exato é
\int_{0}^{2}e^x\,\mathrm{d}x=e^2-1\approx6{,}38906.
O erro absoluto da aproximação de Simpson é
\bigl|6{,}38949-6{,}38906\bigr|\approx4{,}3\times10^{-4}<2\times10^{-3}.

Resposta

(a) m_{\text{trap}}=36, m_{\text{Simpson}}=6, m_{3/8}=9.
(b) Usando Simpson com m=6, obtém-se 6{,}38949.
(c) O erro real é \approx4{,}3\times10^{-4}<2\times10^{-3}.

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