(a) Calcule o número mínimo m de subintervalos para aproximar a integral dada com erro E<2 \times 10^{-3} em cada uma das 3 primeiras fórmulas de Newton-Cotes.
(b) Aproxime a integral dada com a regra que exige o menor número m de subintervalos sob as condições do item anterior.
(c) Verifique que a aproximação fornece resultado com erro menor do que 2 \times 10^{-3}.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{2} e^{x}\,\mathrm{d}x
usando as três primeiras fórmulas fechadas de Newton–Cotes (trapézio, Simpson e 3/8), de modo que o erro seja menor que 2\times10^{-3}. Para cada fórmula vamos:
– Escrever o limite de erro composto em função de m.
– Determinar o m mínimo que garante E<2\times10^{-3}.
Depois, escolhemos a regra que dá o menor m, aplicamos e verificamos o erro real.
Passo 2
Fórmula do trapézio composto: se h=\tfrac{2}{m} e f''(x)=e^x, então
(a) m_{\text{trap}}=36, m_{\text{Simpson}}=6, m_{3/8}=9.
(b) Usando Simpson com m=6, obtém-se 6{,}38949.
(c) O erro real é \approx4{,}3\times10^{-4}<2\times10^{-3}.