Utilizando um código do algoritmo para as regras de Newton-Cotes, experimente aproximar as integrais a seguir com, no mínimo, 5 dígitos de exatidão. (Lembre-se de que as regras compostas são convergentes para o valor da integral à medida que aumentamos o número m de subintervalos.) \int_{1}^{5} \frac{e^{\sin x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{5}\frac{e^{\sin x}}{x^{2}}\,dx
usando regras compostas de Newton–Cotes até obter pelo menos cinco dígitos corretos.
O conteúdo aqui é integração numérica por regras compostas (trapezoidal, Simpson etc.), e vamos precisar implementar um critério de convergência por refinamento do número m de subintervalos, comparando aproximações sucessivas até \bigl|I_{m}-I_{2m}\bigr|<10^{-5}.
Passo 2
Escolhemos a regra composta de Simpson (Newton–Cotes de grau 2), pois dá erro \mathcal O(h^{4}) e normalmente converge rápido.
Seja m par e
h = \frac{5-1}{m}=\frac{4}{m},\qquad x_i = 1 + i\,h,\;i=0,\dots,m.