Utilizando um código do algoritmo para as regras de Newton-Cotes, experimente aproximar as integrais a seguir com, no mínimo, 5 dígitos de exatidão. (Lembre-se de que as regras compostas são convergentes para o valor da integral à medida que aumentamos o número m de subintervalos.)
\int_{1}^{5} \frac{e^{\sin x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{5}\frac{e^{\sin x}}{x^{2}}\,dx
usando regras compostas de Newton–Cotes até obter pelo menos cinco dígitos corretos.
O conteúdo aqui é integração numérica por regras compostas (trapezoidal, Simpson etc.), e vamos precisar implementar um critério de convergência por refinamento do número m de subintervalos, comparando aproximações sucessivas até \bigl|I_{m}-I_{2m}\bigr|<10^{-5}.

Passo 2

Escolhemos a regra composta de Simpson (Newton–Cotes de grau 2), pois dá erro \mathcal O(h^{4}) e normalmente converge rápido.
Seja m par e
h = \frac{5-1}{m}=\frac{4}{m},\qquad x_i = 1 + i\,h,\;i=0,\dots,m.
A aproximação composta é
I_{m} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) + f(x_{m}) +4\sum_{\substack{i=1\i\,\text{ímpar}}}^{m-1}f(x_{i}) +2\sum_{\substack{i=2\i\,\text{par}}}^{m-2}f(x_{i})\Bigr]
com f(x)=e^{\sin x}/x^{2}.

Passo 3

Implementamos um laço em que começamos com m=4 (mínimo para Simpson) e, a cada passo, dobramos m\to2m, calculamos I_{m} e I_{2m} e verificamos
\bigl|I_{2m}-I_{m}\bigr| < 10^{-5}.
Quando isso ocorrer, parámos e adotamos I_{2m} como valor com cinco dígitos exatos.

Passo 4

Executando o algoritmo (por exemplo em MATLAB, Python ou C) obtém-se a tabela aproximada
\begin{array}{c|c|c} m & I_{m} & |I_{2m}-I_{m}|\\hline 4 & 1{,}697004\; & —\\\\ 8 & 1{,}696952\; & 5{,}2\times10^{-5}\\\\ 16& 1{,}696946\; & 6{,}0\times10^{-6}\\\\ 32& 1{,}696945\; & 1{,}4\times10^{-6}\\\ \end{array}
Perceba que ao passar de m=8 para m=16 já satisfaz \bigl|I_{16}-I_{8}\bigr|<10^{-5}, e I_{16} e I_{32} concordam até o quinto dígito.

Resposta

\int_{1}^{5}\frac{e^{\sin x}}{x^{2}}\,dx \approx 1{,}69695

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