Use mudança de variável para aproximar:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se aproximar a integral
usando , isto é, a regra de Gauss–Legendre com 2 pontos (grau 2). - Informação dada: o integrando é
e o intervalo de integração é . - Objetivo prático: fazer a mudança de variável que leva
para , aplicar a fórmula de Gauss–Legendre com 2 pontos e voltar ao valor aproximado na variável .
Passo 2
Mudança de variável (mapeamento do intervalo
para
):
- Em geral, para transformar
em usa-se
onde
é a nova variável. Aqui
e
.
- Calculando os parâmetros:
- Logo a mudança é
- A diferencial transforma-se como
- Portanto a integral original fica
Passo 3
Regra de Gauss–Legendre com 2 pontos (fórmula usada):
- A regra de Gauss–Legendre com
pontos em aproxima por
Aqui os nós são
e
e os pesos são ambos
.
- Aplicando isso à nossa integral (com o fator
que veio da mudança de variável):
Passo 4
Calcular os nós na variável
(substituir
e
):
- Os nós em
são
- Converter para
via :
Passo 5
Avaliar o integrando
nesses pontos (mostrar cálculos aproximados):
- Precisamos de
e . - Para
: - Usando desenvolvimento em série pequeno para ajuste (ou uma calculadora mental refinada), obtém-se
(detalhe: este valor vem de ajustar por um pequeno incremento .) - Para
: - Similarmente,
(Se na prova não for permitida calculadora, pode-se usar aproximações por séries ou tabelas; aqui apresento valores numéricos arredondados com precisão suficiente.)
Passo 6
Montar a aproximação final e calcular numericamente:
- Pela fórmula de Gauss–Legendre com o fator
,
- Substituindo os valores:
- Arredondando de forma conveniente, podemos escrever
Passo 7
Verificação rápida com o valor exato (para ganhar confiança):
- A integral exata pode ser obtida por antiderivada:
. Logo
- Comparando: a aproximação de Gauss–Legendre com 2 pontos deu
, erro absoluto
que é muito pequeno — a regra de Gauss é muito eficiente aqui.