Use mudança de variável para aproximar:
\int_{1}^{2} \cos (x) d x \operatorname{com} I_{G L}(f, 2)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{1}^{2} \cos(x)\,dx usando I_{GL}(f,2), isto é, a regra de Gauss–Legendre com 2 pontos (grau 2).
  • Informação dada: o integrando é f(x)=\cos(x) e o intervalo de integração é [1,2].
  • Objetivo prático: fazer a mudança de variável que leva [1,2] para [-1,1], aplicar a fórmula de Gauss–Legendre com 2 pontos e voltar ao valor aproximado na variável x.

Passo 2

Mudança de variável (mapeamento do intervalo [1,2] para [-1,1]):
  • Em geral, para transformar [a,b] em [-1,1] usa-se
x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
onde t\in[-1,1] é a nova variável. Aqui a=1 e b=2.
  • Calculando os parâmetros:
\frac{a+b}{2}=\frac{1+2}{2}=1{,}5,\qquad \frac{b-a}{2}=\frac{2-1}{2}=0{,}5.
  • Logo a mudança é
x = 1{,}5 + 0{,}5\,t.
  • A diferencial transforma-se como
dx = \frac{b-a}{2}\,dt = 0{,}5\,dt.
  • Portanto a integral original fica
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx = 0{,}5\int_{-1}^{1}\cos\bigl(1{,}5+0{,}5t\bigr)\,dt.

Passo 3

Regra de Gauss–Legendre com 2 pontos (fórmula usada):
  • A regra de Gauss–Legendre com 2 pontos em [-1,1] aproxima \int_{-1}^{1}g(t)\,dt por
\int_{-1}^{1}g(t)\,dt \approx g\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + g\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Aqui os nós são t_{1}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} e t_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e os pesos são ambos 1.
  • Aplicando isso à nossa integral (com o fator 0{,}5 que veio da mudança de variável):
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx \approx 0{,}5\Biggl(\cos\!\bigl(1{,}5+0{,}5t_{1}\bigr) + \cos\!\bigl(1{,}5+0{,}5t_{2}\bigr)\Biggr).

Passo 4

Calcular os nós na variável x (substituir t_{1} e t_{2}):
  • Os nós em t são
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\approx -0{,}5773502692,\qquad t_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}5773502692.
  • Converter para x via x=1{,}5+0{,}5t:
x_{1}=1{,}5+0{,}5\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1{,}5-0{,}5\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 1{,}2113248654,
x_{2}=1{,}5+0{,}5\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 1{,}7886751346.

Passo 5

Avaliar o integrando \cos(x) nesses pontos (mostrar cálculos aproximados):
  • Precisamos de \cos(x_{1}) e \cos(x_{2}).
  • Para x_{1}\approx 1{,}2113248654:
    • Usando desenvolvimento em série pequeno para ajuste (ou uma calculadora mental refinada), obtém-se
    \cos\bigl(1{,}2113248654\bigr)\approx 0{,}351776216.(detalhe: este valor vem de ajustar \cos(1{,}2) por um pequeno incremento d\approx 0{,}0113248654.)
  • Para x_{2}\approx 1{,}7886751346:
    • Similarmente,
    \cos\bigl(1{,}7886751346\bigr)\approx -0{,}216160104.
(Se na prova não for permitida calculadora, pode-se usar aproximações por séries ou tabelas; aqui apresento valores numéricos arredondados com precisão suficiente.)

Passo 6

Montar a aproximação final e calcular numericamente:
  • Pela fórmula de Gauss–Legendre com o fator 0{,}5,
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx \approx 0{,}5\bigl(\cos(x_{1})+\cos(x_{2})\bigr).
  • Substituindo os valores:
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx \approx 0{,}5\bigl(0{,}351776216 + (-0{,}216160104)\bigr) = 0{,}5\cdot 0{,}135616112 \approx 0{,}067808056.
  • Arredondando de forma conveniente, podemos escrever
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx \approx 0{,}0678081.

Passo 7

Verificação rápida com o valor exato (para ganhar confiança):
  • A integral exata pode ser obtida por antiderivada: \displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x. Logo
\int_{1}^{2}\cos(x)\,dx = \sin(2)-\sin(1)\approx 0{,}9092974268-0{,}8414709848=0{,}0678264420.
  • Comparando: a aproximação de Gauss–Legendre com 2 pontos deu 0{,}067808056, erro absoluto
\bigl|0{,}067808056-0{,}067826442\bigr|\approx 1{,}84\times 10^{-5},
que é muito pequeno — a regra de Gauss é muito eficiente aqui.

Resposta

\,0,0678081

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