Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
sumn=1^infty (-1)^n-1n^6 (cinco casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1n^6
com precisão de cinco casas decimais. Vamos usar o Teorema de Leibniz (ou Estimativa do Termo Retido) para séries alternadas, que diz que o erro ao truncar após N termos fica limitado pelo valor absoluto do próximo termo.

Passo 2

Defina
an=1n^6,,
então a nossa série é sum(-1)^n-1an. Observamos que an+1<an para todo n e limntoinftyan=0, logo as hipóteses do Teorema de Leibniz estão satisfeitas e a série converge.

Passo 3

Para garantir erro absoluto menor que 10^-5, basta exigir
aN+1=1(N+1)^6<10^-5
Isto equivale a
(N+1)^6>10^5Longrightarrow N+1>=7Longrightarrow N>=6

Passo 4

Calculamos a soma parcial até N=6:
S6=sumn=1^6(-1)^n-1n^6 =1-12^6+13^6-14^6+15^6-16^6 approx0,98554517

Passo 5

Pelo Teorema de Leibniz,
l|S-S6r|<17^6approx8,5times10^-6<10^-5,
portanto S6 já garante a precisão desejada. Arredondando S6 a cinco casas decimais obtemos
Sapprox0,98555

Resposta

0,98555

Exercícios relacionados