Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial, que faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Basicamente, temos uma equação que relaciona a função y e sua derivada y' , e também uma condição inicial que nos dá o valor de y em um ponto específico. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular equações diferenciais e aplicar métodos apropriados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização. A equação dada é:
x^2 y' = y - x y
Podemos reorganizar isso para isolar y' :
y' = y - x yx^2 = y(1 - x)x^2
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial da forma:
y' = y(1 - x)x^2
Essa é uma equação diferencial linear, que pode ser resolvida usando o fator integrante. A forma geral de uma equação linear é:
y' + P(x)y = Q(x)
Vamos colocar nossa equação nessa forma.
Passo 4
Rearranjando a equação:
y' - 1 - xx^2 y = 0
Aqui, identificamos que:
P(x) = -1 - xx^2 e Q(x) = 0
Passo 5
Calculamos o fator integrante mu(x) , que é dado por: