Resolva os problemas de valor inicial
lx^2 y^prime=y-x y y(-1)=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial, que faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Basicamente, temos uma equação que relaciona a função y e sua derivada y' , e também uma condição inicial que nos dá o valor de y em um ponto específico. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular equações diferenciais e aplicar métodos apropriados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização. A equação dada é:
x^2 y' = y - x y
Podemos reorganizar isso para isolar y' :
y' = y - x yx^2 = y(1 - x)x^2

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial da forma:
y' = y(1 - x)x^2
Essa é uma equação diferencial linear, que pode ser resolvida usando o fator integrante. A forma geral de uma equação linear é:
y' + P(x)y = Q(x)
Vamos colocar nossa equação nessa forma.

Passo 4

Rearranjando a equação:
y' - 1 - xx^2 y = 0
Aqui, identificamos que:
P(x) = -1 - xx^2 e Q(x) = 0

Passo 5

Calculamos o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1 - xx^2 dx
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Simplificando a integral:
integral -1 - xx^2 dx = integral ( -1x^2 + 1x ) dx = integral -x^-2 dx + integral x^-1 dx
Integrando termo a termo:
integral -x^-2 dx = x^-11 = 1x e integral x^-1 dx = ln|x|
Então:
mu(x) = e^1x + ln|x| = e^ln|x| cdot e^1x = |x| cdot e^1x
Como x está no denominador original, assumimos x > 0 , então podemos simplificar para:
mu(x) = x e^1x

Passo 7

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante mu(x) :
x e^1x cdot y' - x e^1x cdot 1 - xx^2 y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( y cdot x e^1x ) = 0

Passo 8

Integrando ambos os lados:
y cdot x e^1x = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para y :
y = Cx e^1x = C e^-1xx

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial y(-1) = -1 para encontrar o valor de C :
-1 = C e^-1-1-1 Rightarrow -1 = C e^1-1 Rightarrow -1 = -C e
Multiplicando ambos os lados por -1 :
1 = C e Rightarrow C = 1e

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = e^-1xe x = e^-1xe x

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