Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
sumn=1^infty (-1)^n-1(2 n-1)! (quatro casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
sumn=1^infty(-1)^n-1(2n-1)!
com precisão de quatro casas decimais.

Passo 2

Reconhecemos que a série de Taylor de sin(x) é
sin(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!
Tomando x=1, obtemos
sin(1)=sumn=1^infty(-1)^n-1(2n-1)!,
ou seja, nossa soma é exatamente sin(1).

Passo 3

Para controlar o erro usamos o critério da série alternada: o resto RN após N termos satisfaz
|RN|<=1(2N+1)!
Queremos 1(2N+1)!<5times10^-5. Testando N=4 temos
19!approx2,756times10^-6<5times10^-5,
logo basta tomar 4 termos.

Passo 4

Calculamos a soma parcial de n=1 a 4:
S4=1-13!+15!-17! =1-0,1666667+0,0083333-0,0001984 approx0,8414683
Arredondando a quatro casas decimais, obtemos

Resposta

0,8415

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