Aproxime a soma das séries a seguir com precisão de quatro casas decimais. (Dica: Se a série for alternada e satisfizer os critérios de Leibniz, o erro cometido ao truncar a soma parcial
é, em módulo, menor que o primeiro termo
desprezado:
. Use esse fato para estimar a soma com a precisão desejada.)
desprezado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente aproximar a soma da série
com uma precisão de quatro casas decimais. Vamos usar o critério de Leibniz, que é ótimo pra séries alternadas como essa. Basicamente, precisamos somar os termos até que o próximo termo desprezado seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a série atende aos critérios de Leibniz:
- Alternada: Sim, porque os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa devido a
. - Decrescente: Cada termo
fica menor conforme aumenta. - Tende a zero: Quando
vai para o infinito, tende a zero.
Como a série passa nesses requisitos, podemos usar o critério de Leibniz para estimar o erro.
Passo 3
O critério de Leibniz nos diz que o erro ao truncar a série após
termos é menor ou igual ao próximo termo da série, ou seja:
Queremos que esse erro seja menor que
. Então, precisamos encontrar o menor
tal que:
Passo 4
Vamos resolver a inequação:
Agora, tirando a quinta raiz de ambos os lados:
Como
precisa ser inteiro, o menor valor que satisfaz isso é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma dos primeiros 6 termos da série:
Calculando termo a termo:
Somando todos:
Resposta
Aproximando a soma da série com precisão de quatro casas decimais, temos: