Aproxime a soma das séries a seguir com precisão de quatro casas decimais. (Dica: Se a série for alternada e satisfizer os critérios de Leibniz, o erro cometido ao truncar a soma parcial sn é, em módulo, menor que o primeiro termo
desprezado: |Rn| <= bn+1. Use esse fato para estimar a soma com a precisão desejada.)
sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente aproximar a soma da série sumn=1^infty (-1)^n+1 1n^5 com uma precisão de quatro casas decimais. Vamos usar o critério de Leibniz, que é ótimo pra séries alternadas como essa. Basicamente, precisamos somar os termos até que o próximo termo desprezado seja menor que 0.0001.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a série atende aos critérios de Leibniz:
  1. Alternada: Sim, porque os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa devido a (-1)^n+1.
  2. Decrescente: Cada termo 1n^5 fica menor conforme n aumenta.
  3. Tende a zero: Quando n vai para o infinito, 1n^5 tende a zero.
Como a série passa nesses requisitos, podemos usar o critério de Leibniz para estimar o erro.

Passo 3

O critério de Leibniz nos diz que o erro ao truncar a série após n termos é menor ou igual ao próximo termo da série, ou seja:
|Rn| <= 1(n+1)^5
Queremos que esse erro seja menor que 0.0001. Então, precisamos encontrar o menor n tal que:
1(n+1)^5 <= 0.0001

Passo 4

Vamos resolver a inequação:
1(n+1)^5 <= 0.0001 implies (n+1)^5 >= 10000
Agora, tirando a quinta raiz de ambos os lados:
n+1 >= raiz[5]10000 approx 6.3096
Como n precisa ser inteiro, o menor valor que satisfaz isso é n = 6.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma dos primeiros 6 termos da série:
S6 = sumn=1^6 (-1)^n+1 1n^5
Calculando termo a termo:
n=1: & 11^5 = 1 n=2: & -12^5 = -0.03125 n=3: & 13^5 approx 0.004115 n=4: & -14^5 approx -0.0009766 n=5: & 15^5 = 0.00032 n=6: & -16^5 approx -0.0001286
Somando todos:
1 - 0.03125 + 0.004115 - 0.0009766 + 0.00032 - 0.0001286 approx 0.972080

Resposta

Aproximando a soma da série com precisão de quatro casas decimais, temos:
0,9721

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