Aproxime a soma das séries a seguir com precisão de quatro casas decimais. (Dica: Se a série for alternada e satisfizer os critérios de Leibniz, o erro cometido ao truncar a soma parcial sn é, em módulo, menor que o primeiro termo
desprezado: |Rn| <= bn+1. Use esse fato para estimar a soma com a precisão desejada.)
sumn=1^infty(-1)^n n8^n

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série
sumn=1^infty(-1)^n,n8^n
com precisão de quatro casas decimais.
O conteúdo aqui é o critério de Leibniz para séries alternadas, que garante que, se bn=n8^n é decrescente e tende a zero, então ao truncar na soma parcial
sN=sumn=1^N(-1)^n,n8^n
o erro em módulo satisfaz
l|RNr|<= bN+1

Passo 2

Verificamos que bn=n8^n>0 tende a zero e, a partir de certo n, é decrescente. Portanto, podemos usar o critério de Leibniz: basta achar N tal que
bN+1=N+18^,N+1<= 0,0001

Passo 3

Calculamos alguns valores de bn:
b4=48^4=44096approx0,0009766
b5=58^5=532768approx0,0001526
b6=68^6=6262144approx0,0000229
Como b6approx0,0000229<=0,0001, basta tomar N=5.

Passo 4

Calculamos a soma parcial até n=5:
s5 = -18 +28^2 -38^3 +48^4 -58^5
Numérico:
-tfrac18=-0,125, +tfrac264=+0,03125, -tfrac3512=-0,005859375,
+tfrac44096=+0,0009765625, -tfrac532768=-0,0001525879
Somando,
s5approx -0,0987854

Passo 5

O erro lvert R5rvert<= b6approx0,0000229<0,0001, logo a soma real difere de s5 em menos de 10^-4. Assim, com quatro casas decimais,
sumn=1^infty(-1)^nn8^napprox -0,0988

Resposta

-0,0988

Exercícios relacionados