Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos sum|an| para decidir sobre a convergência absoluta.)
sumn=1^infty(-1)^n e^ln nn^3

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,e^ln nn^3
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência (p-série para a convergência absoluta e teste de série alternada se necessário).

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando e^ln n=n. Logo
an = (-1)^n,e^ln nn^3 = (-1)^n,nn^3 = (-1)^n,1n^2

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^inftyl|anr| = sumn=1^infty1n^2
Esta é uma p-série com p=2>1, que sabemos convergir.

Passo 4

Como sum|an| converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (e descarta convergência apenas condicional).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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