Para cada série abaixo, determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. (Dica: Considere aplicar os Testes da Razão, Raiz, Comparação ou Série Alternada. Verifique a convergência da série dos valores absolutos sum|an| para decidir sobre a convergência absoluta.)
sumn=1^infty(-1)^n (1,1)^n4^n

Passo 1

Então, temos que analisar a série sumn=1^infty (-1)^n 1.1^n4^n para ver se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão. Também vamos verificar a convergência da série dos valores absolutos sumn=1^infty |an| para determinar o tipo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n 1.1^n4^n | = sumn=1^infty 1.1^n4^n = sumn=1^infty (1.14)^n

Passo 3

A série sumn=1^infty (1.14)^n é uma série geométrica da forma sumn=1^infty r^n, onde r = 1.14 = 0.275.
Como |r| = 0.275 < 1, sabemos que uma série geométrica converge se a razão absoluta |r| for menor que 1.

Passo 4

Portanto, a série dos valores absolutos sumn=1^infty |an| converge. Isso significa que a série original sumn=1^infty (-1)^n 1.1^n4^n é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n 1.1^n4^n é absolutamente convergente.

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