Aproxime a soma das séries a seguir com precisão de quatro casas decimais. (Dica: Se a série for alternada e satisfizer os critérios de Leibniz, o erro cometido ao truncar a soma parcial é, em módulo, menor que o primeiro termo
desprezado: . Use esse fato para estimar a soma com a precisão desejada.)
Passo 1
O enunciado pede a soma
com precisão de quatro casas decimais. Como é uma série alternada cujos termos em módulo
são decrescentes (a partir de ) e tendem a zero, podemos aplicar o critério de Leibniz: o erro ao truncar na soma parcial satisfaz
Passo 2
Verificamos que para todo n>=1
bn+1bn =(n+1)^2/10^n+1n^2/10^n =(n+1)^210,n^2<1,
logo bn é decrescente e tende a zero.
Passo 3
Queremos l|RNr|<=10^-4. Basta achar N tal que
bN+1=(N+1)^210^N+1<=10^-4
Testando valores de N:
Para N=4, b5=25/10^5=2,5times10^-4>10^-4.
Para N=5, b6=36/10^6=3,6times10^-5<10^-4.
Logo basta tomar N=5.
Temos l|S - s5r|<= b6=3,6times10^-5, portanto o erro é menor que 10^-4. Para exprimir o resultado com quatro casas decimais, arredondamos s5 até o quarto dígito: