Aproxime a soma das séries a seguir com precisão de quatro casas decimais. (Dica: Se a série for alternada e satisfizer os critérios de Leibniz, o erro cometido ao truncar a soma parcial sn é, em módulo, menor que o primeiro termo
desprezado: |Rn| <= bn+1. Use esse fato para estimar a soma com a precisão desejada.)
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^210^n

Passo 1

O enunciado pede a soma
S = sumn=1^infty(-1)^n-1n^210^n
com precisão de quatro casas decimais. Como é uma série alternada cujos termos em módulo
bn = n^210^n
são decrescentes (a partir de n=1) e tendem a zero, podemos aplicar o critério de Leibniz: o erro ao truncar na soma parcial sN satisfaz
l|RNr| = l|S - sNr| <= bN+1

Passo 2

Verificamos que para todo n>=1
bn+1bn =(n+1)^2/10^n+1n^2/10^n =(n+1)^210,n^2<1,
logo bn é decrescente e tende a zero.

Passo 3

Queremos l|RNr|<=10^-4. Basta achar N tal que
bN+1=(N+1)^210^N+1<=10^-4
Testando valores de N:
  • Para N=4, b5=25/10^5=2,5times10^-4>10^-4.
  • Para N=5, b6=36/10^6=3,6times10^-5<10^-4.
    Logo basta tomar N=5.

Passo 4

Calculamos a soma parcial s5:
s5 &= sumn=1^5(-1)^n-1n^210^n =1^210-2^210^2+3^210^3-4^210^4+5^210^5 &=0,1-0,04+0,009-0,0016+0,00025 =0,06765

Passo 5

Temos l|S - s5r|<= b6=3,6times10^-5, portanto o erro é menor que 10^-4. Para exprimir o resultado com quatro casas decimais, arredondamos s5 até o quarto dígito:
S approx 0,0676

Resposta

0,0676

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