Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro
para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as
-séries.)
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a série
converge.
O conteúdo principal é o teste da comparação com -séries e o teste da integral (ou, equivalentemente, análise assintótica do termo geral).
O conteúdo principal é o teste da comparação com
Passo 2
Estudamos o comportamento para
grande. Como
, temos
Lembrando que a
-série
converge se, e somente se,
, a série dada deve se comportar como
.
Passo 3
-
Caso
:
Então. Para vale , logo Comoconverge ( ), pelo critério da comparação a série original também converge. -
Caso
:
Seentão o termo geral é e a série diverge (harmônica).
Seentão e logo diverge também.
Passo 4
Da análise acima concluímos que a série converge exatamente quando
.
Resposta
A série converge se, e somente se,