Para cada série abaixo, determine os valores do parâmetro p in R para os quais a série é convergente. (Dica: Utilize o Teste da Integral assim como foi feito para as p-séries.)
sumn=1^infty 1n(1+n^2)^p

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de pinR a série
sumn=1^infty1nl(1+n^2r)^p
converge.
O conteúdo principal é o teste da comparação com p-séries e o teste da integral (ou, equivalentemente, análise assintótica do termo geral).

Passo 2

Estudamos o comportamento para n grande. Como 1+n^2sim n^2, temos
1n,(1+n^2)^p;sim;1ncdot n^2p =1n^1+2p
Lembrando que a p-série sum 1/n^q converge se, e somente se, q>1, a série dada deve se comportar como sum1/n^1+2p.

Passo 3

  1. Caso p>0:
    Então 1+2p>1. Para n>=1 vale 1+n^2>= n^2, logo
    1n,(1+n^2)^p <=1ncdot n^2p =1n^1+2p
    Como sum1/n^1+2p converge ( 1+2p>1), pelo critério da comparação a série original também converge.
  2. Caso p<=0:
    Se p=0 então o termo geral é 1/n e a série diverge (harmônica).
    Se p<0 então (1+n^2)^p>=1 e
    1n,(1+n^2)^p>=1n,
    logo diverge também.

Passo 4

Da análise acima concluímos que a série converge exatamente quando p>0.

Resposta

A série converge se, e somente se,
p>0

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