Encontre todos os valores de c in R para os quais a série abaixo converge:
sumn=3^infty(cn-1n+1)
(Dica: Analise o comportamento do termo geral para grandes valores de n e verifique se ele se assemelha a uma série harmônica sum 1n, que é divergente. Para quais valores de c essa semelhança é mantida ou eliminada?)

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de cinR a série
sumn=3^inftyl(cn-1n+1r)
converge. O conteúdo principal é teste de convergência por comparação assintótica com a série harmônica e, no caso especial, reconhecer um telescópio.

Passo 2

Vamos olhar o termo geral para grandes n. Usando expansão em série de potências em 1/n, temos
1n+1 =1n,11+tfrac1n =1nl(1-1n+Ol(tfrac1n^2r)r) =1n-1n^2+Ol(tfrac1n^3r)
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cn-1n+1 =(c-1),1n+1n^2+Ol(tfrac1n^3r)

Passo 3

O termo dominante é (c-1)tfrac1n. Se cneq1, então para grandes n
cn-1n+1sim (c-1),1n,
e a série se comporta como sum (c-1)tfrac1n, que diverge (série harmônica). Portanto, sempre que cneq1 a série diverge.

Passo 4

Se c=1, o termo geral fica
1n-1n+1,
e a soma parcial de n=3 a N é telescópica:
SN=sumn=3^Nl(1n-1n+1r) =l(13-14r)+l(14-15r)+cdots+l(1N-1N+1r) =13-1N+1
Tomando Ntoinfty, SNto13, ou seja, a série converge.

Resposta

A série converge se, e somente se,
c=1

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