Encontre todos os valores de
para os quais a série abaixo converge:
(Dica: Analise o comportamento do termo geral para grandes valores de
e verifique se ele se assemelha a uma série harmônica
, que é divergente. Para quais valores de
essa semelhança é mantida ou eliminada?)
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a série
converge. O conteúdo principal é teste de convergência por comparação assintótica com a série harmônica e, no caso especial, reconhecer um telescópio.
Passo 2
Vamos olhar o termo geral para grandes
. Usando expansão em série de potências em
, temos
Logo
Passo 3
O termo dominante é
. Se
, então para grandes
e a série se comporta como
, que diverge (série harmônica). Portanto, sempre que
a série diverge.
Passo 4
Se
, o termo geral fica
e a soma parcial de
a
é telescópica:
Tomando
,
, ou seja, a série converge.
Resposta
A série converge se, e somente se,