Suponha que estejamos caminhando num terreno modelado por
e que atualmente estejamos no ponto ( ).
(a) Determine a inclinação que teremos pela frente se caminharmos para o norte. Isso corresponde a qual ângulo de inclinação?
(b) Determine a inclinação que teremos pela frente se caminharmos para o nordeste. Isso corresponde a qual ângulo de inclinação?
(c) Determine a maior inclinação que podemos encontrar a partir da nossa posição.
Passo 1
O enunciado descreve um terreno dado implicitamente por
ou seja, equivalentemente
Estamos na posição no domínio e altura (note que , mas seguimos tratando como modelo local). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente para obter a inclinação (razão de subida sobre o plano horizontal) e o ângulo de inclinação satisfaz inclinação.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de :
No ponto isso dá
Passo 3
(a) Para caminhar para o norte, usamos o vetor direção no plano
que já é unitário. A derivada direcional é
Logo a inclinação (razão vertical/horizontal) vale . O ângulo de inclinação satisfaz
Passo 4
(b) Para caminhar ao nordeste, a direção no plano é que normalizamos:
A derivada direcional é
A inclinação vale e o ângulo satisfaz
Passo 5
(c) A maior inclinação ocorre na direção do gradiente e tem valor igual ao seu módulo: