Suponha que estejamos caminhando num terreno modelado por
z=x^2+y^2-z
e que atualmente estejamos no ponto ( 1,2,3 ).
(a) Determine a inclinação que teremos pela frente se caminharmos para o norte. Isso corresponde a qual ângulo de inclinação?
(b) Determine a inclinação que teremos pela frente se caminharmos para o nordeste. Isso corresponde a qual ângulo de inclinação?
(c) Determine a maior inclinação que podemos encontrar a partir da nossa posição.

Passo 1

O enunciado descreve um terreno dado implicitamente por
x^2+y^2-z=0
ou seja, equivalentemente
z=f(x,y)=x^2+y^2
Estamos na posição (1,2) no domínio e altura z=3 (note que 1^2+2^2=5neq3, mas seguimos tratando f como modelo local). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente para obter a inclinação (razão de subida sobre o plano horizontal) e o ângulo de inclinação theta satisfaz tantheta= inclinação.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f:
nablaf(x,y)=l(partialxf,partialyfr)=(2x,2y)
No ponto (1,2) isso dá
nablaf(1,2)=(2cdot1,2cdot2)=(2,4)

Passo 3

(a) Para caminhar para o norte, usamos o vetor direção no plano xy
uN=(0,1),
que já é unitário. A derivada direcional é
DuNf=nablaf(1,2)cdotuN =(2,4)cdot(0,1)=4
Logo a inclinação (razão vertical/horizontal) vale 4. O ângulo de inclinação thetaN satisfaz
tanthetaN=4 Longrightarrow thetaN=arctan(4)

Passo 4

(b) Para caminhar ao nordeste, a direção no plano é (1,1) que normalizamos:
uNE=1raiz2(1,1)
A derivada direcional é
DuNEf =(2,4)cdot1raiz2(1,1) =2+4raiz2 =6raiz2 =3raiz2
A inclinação vale 3raiz2 e o ângulo thetaNE satisfaz
tanthetaNE=3raiz2 Longrightarrow thetaNE=arctanl(3raiz2r)

Passo 5

(c) A maior inclinação ocorre na direção do gradiente e tem valor igual ao seu módulo:
max|u|=1Duf =l|nablaf(1,2)r| =raiz2^2+4^2 =raiz4+16 =raiz20 =2raiz5
O ângulo thetamax satisfaz
tanthetamax=2raiz5 Longrightarrow thetamax=arctanl(2raiz5r)

Resposta

(a) inclinação 4, thetaN=arctan(4).
(b) inclinação 3raiz2, thetaNE=arctan(3raiz2).
(c) maior inclinação 2raiz5, thetamax=arctan(2raiz5).

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