Aproxime o valor da expressão dada usando o número indicado de termos de uma série der Maclaurin.
e^(1+i n) / 10, três termos

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de e^(1 + i n)/10 usando três termos da série de Maclaurin de e^z. O conteúdo aqui é série de Maclaurin para exponencial de número complexo, e vamos precisar saber a fórmula geral: e^z = sumk=0^infty z^k / k!.

Passo 2

A série de Maclaurin para e^z é dada por
e^z = sumk=0^infty z^kk! = 1 + z + z^22! + z^33! + cdots
Aqui vamos truncar nos três primeiros termos (k=0,1,2).

Passo 3

No nosso caso, definimos o número complexo
z = 1 + i n10
Então os três primeiros termos são para k=0,1,2.

Passo 4

Calculando cada termo:
Para k=0:
z^00! = 1
Para k=1:
z^11! = z = 1 + i n10
Para k=2:
z^22! = 12(1 + i n10)^2 = 12(1 + i n)^2100
E como
(1 + i n)^2 = 1 + 2i n - n^2
segue
z^22! = 1 + 2i n - n^2200

Passo 5

Agora somamos os três termos:
1 + 1 + i n10 + 1 + 2i n - n^2200
Para simplificar, separamos parte real e imaginária:
Parte real:
1 + 110 + 1 - n^2200 = 200200 + 20200 + 1 - n^2200 = 221 - n^2200
Parte imaginária:
n10 + 2n200 = n10 + n100 = 10n + n100 = 11n100

Passo 6

Portanto, a aproximação de três termos fica:

Passo 7

Resposta

e^(1 + i n)/10 approx 221 - n^2200 + i11n100

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