Usando a definição de centróide dada na questão 3, calcule o centróide da circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 1

O exercício pede para calcular o centróide da circunferência de raio 1 centrada na origem. O tema é centróide (baricentro) de uma curva no plano, e vamos precisar usar a definição de centróide via integrais sobre o comprimento de arco.

Passo 2

A definição do centróide para uma curva C de comprimento total L, com densidade uniforme, é dada por:
(bar x,,bar y)=l(1LintegralC x,ds,,1LintegralC y,dsr)

Passo 3

Parametrizamos a circunferência de raio 1 por x(t)=cos t, y(t)=sin t, com tin[0,2pi]. O elemento de comprimento é
ds=llVert(x'(t),y'(t))rrVert dt=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2,dt=dt

Passo 4

O comprimento total é L=integral0^2pidt=2pi. Calculamos
integral0^2pix,ds=integral0^2picos t,dt=0
e
integral0^2piy,ds=integral0^2pisin t,dt=0.
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bar x=0 e bar y=0.

Resposta

(0,0)

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