Seja uma esfera de raio r e 0 <= a. Determine a área da superfície da porção da esfera obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de y=raizr^2-x^2 com -a <= x <= a.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície de revolução gerada ao rotacionar em torno do eixo x o gráfico de y=raizr^2-x^2 para -a<= x<= a. Isso equivale à área de uma zona esférica de altura 2a em uma esfera de raio r. Para calcular essa área, vamos usar a fórmula de superfície de revolução em torno do eixo x:
A = 2pi integral-a^a y(x) , raiz1 + l(y'(x)r)^2 , dx

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y=raizr^2-x^2:
y' = ddxl(raizr^2-x^2r) = -xraizr^2-x^2

Passo 3

Em seguida, simplificamos o fator raiz1+(y')^2:
raiz1 + l(y'r)^2 = raiz1 + x^2r^2-x^2 = raizr^2r^2-x^2 = rraizr^2-x^2

Passo 4

Agora substituímos na integral:
2pi,y,raiz1+(y')^2 =2pi,raizr^2-x^2timesrraizr^2-x^2 =2pi r Portanto a área é
A = integral-a^a2pi r,dx = 2pi rl[xr]-a^a = 2pi r,(a-(-a)) = 4pi r a

Resposta

4pi r a

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