Seja uma curva
. O centróide da curva
é definido como sendo o ponto (
) onde
(i) Mostre que a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
é igual ao comprimento da curva vezes a distância que o centróide da curva se movimenta.
(ii) Usando (i), encontre a área da superfície do toro formado pela rotação em torno do eixo
de um círculo de raio
situado a uma distância
da origem, com
.
(ii) Usando (i), encontre a área da superfície do toro formado pela rotação em torno do eixo
Passo 1
Recapitulando o que a questão pede: temos uma curva parametrizada
e definimos seu centróide por
Precisamos (i) mostrar que a área de superfície obtida girando
em torno do eixo
vale comprimento vezes distância que o centróide percorre, e (ii) usar isso para achar a área do toro gerado por um círculo de raio
afastado
da origem, girando em torno do eixo
.
Passo 2
Para a rotação de
em torno do eixo
, aplicamos a fórmula clássica de área de superfície de revolução:
ou seja
Passo 3
Agora olhe a definição de
:
Logo
Passo 4
Substituindo na expressão de
temos
e como o centróide percorre uma circunferência de raio
, a distância é
. Assim
que é exatamente comprimento vezes distância percorrida pelo centróide. Isso prova (i).
Passo 5
Para o toro, parametrize o círculo de raio
centrado em
:
O comprimento desse círculo é
Passo 6
Vamos achar o centróide
desse círculo:
No numerador
logo
.
Passo 7
Para girar esse círculo em torno do eixo
, basta usar o resultado de (i):