Seja uma curva gamma:=(x(t), y(t)), a <= t <= b. O centróide da curva gamma é definido como sendo o ponto ( barx, bary ) onde
barx:=integrala^b x(t) raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2 d t comprimento da curva , bary:=integrala^b y(t) raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2 d t comprimento da curva
(i) Mostre que a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x é igual ao comprimento da curva vezes a distância que o centróide da curva se movimenta.
(ii) Usando (i), encontre a área da superfície do toro formado pela rotação em torno do eixo y de um círculo de raio a situado a uma distância b da origem, com b >= a.

Passo 1

Recapitulando o que a questão pede: temos uma curva parametrizada gamma:,(x(t),y(t)),,tin[a,b] e definimos seu centróide por
barx=integrala^b x(t)raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dtcomprimento L, bary=integrala^b y(t)raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dtL
Precisamos (i) mostrar que a área de superfície obtida girando gamma em torno do eixo x vale comprimento vezes distância que o centróide percorre, e (ii) usar isso para achar a área do toro gerado por um círculo de raio a afastado b da origem, girando em torno do eixo y.

Passo 2

Para a rotação de gamma em torno do eixo x, aplicamos a fórmula clássica de área de superfície de revolução:
Ax= integrala^b 2pi,y(t),ds com ds=raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt
ou seja
Ax=integrala^b 2pi,y(t)raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt

Passo 3

Agora olhe a definição de bary:
bary=1Lintegrala^b y(t)raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt
Logo
integrala^b y(t)raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt=bary,L

Passo 4

Substituindo na expressão de Ax temos
Ax=2pi,bary,L,
e como o centróide percorre uma circunferência de raio bary, a distância é 2pibary. Assim
Ax=Ltimes(2pibary),
que é exatamente comprimento vezes distância percorrida pelo centróide. Isso prova (i).

Passo 5

Para o toro, parametrize o círculo de raio a centrado em (b,0):
x(t)=b+acos t, y(t)=asin t, tin[0,2pi]
O comprimento desse círculo é
L=integral0^2piraiz(x')^2+(y')^2,dt =integral0^2pia,dt=2pi a

Passo 6

Vamos achar o centróide barx desse círculo:
barx=1Lintegral0^2pix(t),ds =12pi aintegral0^2pi(b+acos t),a,dt
No numerador
integral0^2pi(b+acos t)a,dt =abintegral0^2pidt+a^2integral0^2picos t,dt =2pi ab+0=2pi ab,
logo barx=b.

Passo 7

Para girar esse círculo em torno do eixo y, basta usar o resultado de (i):
Atoro=Ltimes(2pibarx) =(2pi a)times(2pi b)=4pi^2ab

Resposta

4pi^2ab

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