Aproxime o valor de integral2^4 raiz1+x^4 d x usando fórmulas de Gauss-Legendre com 2 pontos. [Dica: lembre que é necessário fazer mudança de variável para o intervalo [-1,1]

Passo 1

Beleza, a gente quer aproximar a integral
integral2^4 raiz1 + x^4,dx
usando a regra de Gauss–Legendre de 2 pontos. Isso faz parte do capítulo de “integração numérica” e, mais especificamente, de “quadratura de Gauss”.
O que vamos precisar:
  1. Fazer a mudança de variável para transformar o intervalo em .
  2. Saber os pontos (nós) e pesos da fórmula de Gauss–Legendre com 2 pontos.
  3. Avaliar a função transformada nesses pontos e somar tudo.

Passo 2

Mudança de variável
A regra de Gauss–Legendre é dada para x = b+a2 + b-a2,t, . Então definimos
x = 3 + t, dx = dt,
onde aqui integral2^4 raiz1 + x^4,dx = integral-1^1 raiz1 + (3 + t)^4,b-a2,dt = 1;integral-1^1 raiz1 + (3 + t)^4,dt, e . Logo
e ainda
pois .

Passo 3

Nós e pesos da fórmula de 2 pontos
Para 2 pontos, os nós t1,2 = pm 1raiz3, w1 = w2 = 1 e pesos integral-1^1 g(t),dt approx sumi=1^2 wi,g(ti) = g!l(-tfrac1raiz3r) + g!l(tfrac1raiz3r) são
A regra fica
Aqui .

Passo 4

Avaliar em cada nó
  1. Para g(t1) = raiz1 + (2.42265)^4 approx raiz1 + 34.44 approx raiz35.44 approx 5.95 ,
    g(t2) = raiz1 + (3.57735)^4 approx raiz1 + 163.80 approx raiz164.80 approx 12.84 .
    Então
  2. Para ,
    .
    Então

Resposta

Somando os valores com os pesos:
integral2^4 raiz1 + x^4,dx approx 5.95 + 12.84 = boxed18.79

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