Aproxime o valor de
usando fórmulas de Gauss-Legendre com 2 pontos. [Dica: lembre que é necessário fazer mudança de variável para o intervalo
Passo 1
Beleza, a gente quer aproximar a integral
usando a regra de Gauss–Legendre de 2 pontos. Isso faz parte do capítulo de “integração numérica” e, mais especificamente, de “quadratura de Gauss”.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Fazer a mudança de variável para transformar o intervalo
em . - Saber os pontos (nós) e pesos da fórmula de Gauss–Legendre com 2 pontos.
- Avaliar a função transformada nesses pontos e somar tudo.
Passo 2
Mudança de variável
A regra de Gauss–Legendre é dada para . Então definimos
A regra de Gauss–Legendre é dada para
onde aqui
e
. Logo
e ainda
pois
.
Passo 3
Nós e pesos da fórmula de 2 pontos
Para 2 pontos, os nós e pesos
são
Para 2 pontos, os nós
A regra fica
Aqui
.
Passo 4
Avaliar em cada nó
- Para
,
.
Então - Para
,
.
Então
Resposta
Somando os valores com os pesos: