Considere integral1^e ln (x) d x.
Use regra de 1 / 3 de Simpson para aproximar o valor da integral e calcule o erro.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para aproximar a integral
integral1^e ln(x),dx
usando a regra de 1/3 de Simpson e também estimar o erro.
Conteúdo: Integração Numérica (regra de Simpson) + Estimativa de erro.
O que precisamos:
  • Dividir o intervalo S=h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] em |ES|<= (b-a)^5180,n^4maxxin[1,e]|f^(4)(x)| subintervalos (Simpson exige par).
  • Calcular .
  • Avaliar em .
  • Aplicar a fórmula de Simpson
  • Para o erro, usar o bound

Passo 2

Calcular e os pontos:
  • , .
  • , então
    .
  • Pontos:
    ,
    ,
    .
    Agora as funções:
  • .
  • .
  • .

Passo 3

Aplicar a regra de Simpson:
S=h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] =e-16l[0+4ln!l(tfrac1+e2r)+1r]
Substituindo numericamente ( Sapprox0,859143l[0+4cdot0,619+1r] =0,28638,(2,476+1) =0,28638times3,476 approx0,9955 ):
  • .
  • .
    Logo

Passo 4

Agora o erro. Para f'(x)=tfrac1x, f''(x)=-tfrac1x^2, f^(3)(x)=tfrac2x^3, f^(4)(x)=-tfrac6x^4 temos
|ES|<= (b-a)^5180,n^4max|f^(4)(x)| =(e-1)^5180cdot2^4,6 =6(e-1)^52880
Então
|ES|<=sssim6cdot15,02880approx902880approx0,0313 (ocorre em ).
A fórmula de erro de Simpson é
Numericamente, , ,

Passo 5

Para comparar com o valor exato, sabemos
integralln x,dx = xln x - x + C
[ecdot1 - e] - [1cdot0 -1] = (e-e)-(-1)=1 de 1 a :
Valor exato = 1. Nossa aproximação foi , ou seja o erro real
, bem menor que o bound .

Resposta

Aproximação por Simpson: .
Erro real .
Bound de erro .

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