Considere integral1^e ln (x) d x.
Use quadratura de Gauss com dois pontos para aproximar o valor da integral e calcule o erro.

Passo 1

E aí, o exercício é aproximar
integral1^eln(x),dx
usando quadratura de Gauss com 2 pontos. Matéria: integração numérica (quadratura de Gauss). A gente vai precisar da fórmula pra mudar o intervalo de pra , dos nós e pesos pro caso e da nossa função .

Passo 2

No esquema de Gauss com 2 pontos:
• Nós em t1=-1raiz3, t2=+1raiz3 :
w1=w2=1
• Pesos:
integral1^eln(x),dx ;approx; e-12sumi=1^2wi, ln!l(x(ti)r), onde x(t)=e-12,t+e+12
A fórmula de quadratura fica

Passo 3

Vamos calcular os pontos transformados x1 = e-12l(-tfrac1raiz3r) + e+12, x2 = e-12l(+tfrac1raiz3r) + e+12 :
e-12approx0,85914, e+12approx1,85914, e-12raiz3approx0,4960
Usando x1approx1,85914-0,4960=1,3631, x2approx1,85914+0,4960=2,3551 :
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Passo 4

Agora calcula ln(1,3631)approx0,3098, ln(2,3551)approx0,8567 :
0,3098+0,8567=1,1665, e-12,(1,1665)approx0,85914times1,1665approx1,0021
Somando e aplicando o peso :
Essa é a nossa aproximação da integral.

Passo 5

Para achar o erro, precisamos do valor exato. A antiderivada de integralln(x),dx = xln(x)-x é
integral1^eln(x),dx = l[eln(e)-er] - l[1ln(1)-1r] = (e-e)- (0-1) =1
Então

Passo 6

O erro é a diferença entre aproximação e exato:
Erro = 1,0021 - 1 = 0,0021

Resposta

Aproximação , erro .

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