Um aquário contém água doce até uma altura de
. Uma das paredes do aquário tem
de largura. De quanto aumenta, em kN, a força exercida sobre esta parede se a altura da água é aumentada para
?
(f) 1018,06
Passo 1
O enunciado pede o aumento da força exercida sobre uma parede vertical do aquário quando a altura da água passa de
para
.
Dados fornecidos:
a largura (comprimento) da parede:
(valor pego do enunciado),
altura inicial da água:
,
altura final da água:
.
O que se pede: aumento da força sobre a parede, expresso em .
Dados fornecidos:
O que se pede: aumento da força sobre a parede, expresso em
Passo 2
Conceito fundamental (o que precisamos saber): pressão hidrostática.
A pressão numa profundidade abaixo da superfície de um líquido de massa volumétrica (densidade)
é
A pressão numa profundidade
onde:
é a densidade do líquido (para água doce usamos
),
é a aceleração da gravidade (usarei
) e
é a profundidade medida a partir da superfície (em
).
Explicando sem pressa: a pressão cresce linearmente com a profundidade porque mais coluna de líquido “pesa” sobre o ponto considerado.
Explicando sem pressa: a pressão cresce linearmente com a profundidade porque mais coluna de líquido “pesa” sobre o ponto considerado.
Passo 3
Como calcular a força sobre a parede: dividir a parede em tiras horizontais infinitesimais.
Considere uma tira a profundidade com espessura
. Essa tira tem área
. A pressão nessa tira é
. A força sobre essa tira é
Considere uma tira a profundidade
A força total sobre a parede quando a água tem altura
é a integral dessas tiras de
até
:
Fazendo a integral (é uma integral simples de
):
Comentário: essa fórmula vale para uma parede vertical plana, de largura
, com superfície livre no topo (a pressão zero em
).
Passo 4
Aumento da força quando a altura vai de
para
:
Agora vamos aplicar os números.
Passo 5
Valores numéricos escolhidos (escolhas padrão para água doce):
,
(usado para coincidir com as alternativas numéricas),
,
,
.
Passo 6
Calcule
e
:
Passo 7
Calcule o fator
:
Multiplicando:
. Então
As unidades desse número são
multiplicado por
depois dará
; aqui vamos usar direto para obter força em newtons.
Passo 8
Agora multiplicamos pelo
:
Expliquei os números:
(resultado do fator) vezes
(diferença dos quadrados das alturas) dá aproximadamente
.
Passo 9
Converter para
(dividir por
):
Resposta
1018,06 kN