Um aquário contém água doce até uma altura de 1,85 \mathrm{~m}. Uma das paredes do aquário tem 9,81 \mathrm{~m} de largura. De quanto aumenta, em kN, a força exercida sobre esta parede se a altura da água é aumentada para 4,96 \mathrm{~m} ?
\begin{array}{lllll}\text { (a) } 178,80 & \text { (b) } 391,81 & \text { \text{(c)} } 542,41 & \text { (d) } 647,17 & \text { \text{(c)} } 808,51\end{array} (f) 1018,06

Passo 1

O enunciado pede o aumento da força exercida sobre uma parede vertical do aquário quando a altura da água passa de 1,85\\ \mathrm{m} para 4,96\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos:
\;\; a largura (comprimento) da parede: w=9,81\\ \mathrm{m} (valor pego do enunciado),
\;\; altura inicial da água: H_1=1,85\\ \mathrm{m},
\;\; altura final da água: H_2=4,96\\ \mathrm{m}.
O que se pede: aumento da força sobre a parede, expresso em \mathrm{kN}.

Passo 2

Conceito fundamental (o que precisamos saber): pressão hidrostática.
A pressão numa profundidade h abaixo da superfície de um líquido de massa volumétrica (densidade) \rho é
p(h)=\rho\,g\,h,
onde: \rho é a densidade do líquido (para água doce usamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}), g é a aceleração da gravidade (usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}) e h é a profundidade medida a partir da superfície (em \mathrm{m}).
Explicando sem pressa: a pressão cresce linearmente com a profundidade porque mais coluna de líquido “pesa” sobre o ponto considerado.

Passo 3

Como calcular a força sobre a parede: dividir a parede em tiras horizontais infinitesimais.
Considere uma tira a profundidade h com espessura \mathrm{d}h. Essa tira tem área \mathrm{d}A = w\,\mathrm{d}h. A pressão nessa tira é p(h)=\rho g h. A força sobre essa tira é
\mathrm{d}F = p(h)\,\mathrm{d}A = \rho g h \cdot w\,\mathrm{d}h.
A força total sobre a parede quando a água tem altura H é a integral dessas tiras de h=0 até h=H:
F(H)=\int_{0}^{H} \rho g h \, w\,\mathrm{d}h.
Fazendo a integral (é uma integral simples de h):
F(H)=\rho g w \int_{0}^{H} h\,\mathrm{d}h = \rho g w \left[\frac{h^{2}}{2}\right]_{0}^{H} = \frac{\rho g w}{2}\,H^{2}.
Comentário: essa fórmula vale para uma parede vertical plana, de largura w, com superfície livre no topo (a pressão zero em h=0).

Passo 4

Aumento da força quando a altura vai de H_1 para H_2:
\Delta F = F(H_2)-F(H_1)=\frac{\rho g w}{2}\bigl(H_2^{2}-H_1^{2}\bigr).
Agora vamos aplicar os números.

Passo 5

Valores numéricos escolhidos (escolhas padrão para água doce):
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (usado para coincidir com as alternativas numéricas), \;w=9,81\\ \mathrm{m}, \;H_1=1,85\\ \mathrm{m}, \;H_2=4,96\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcule H_2^{2} e H_1^{2}:
H_2^{2}=4,96^{2}=24,6016,
H_1^{2}=1,85^{2}=3,4225,
H_2^{2}-H_1^{2}=24,6016-3,4225=21,1791.

Passo 7

Calcule o fator \dfrac{\rho g w}{2}:
\frac{\rho g w}{2}=\frac{1000\cdot 9,8\cdot 9,81}{2}.
Multiplicando: 9,8\cdot 9,81=96,138. Então
\frac{\rho g w}{2}=\frac{1000\cdot 96,138}{2}= \frac{96\,138}{2}=48\,069.
As unidades desse número são \mathrm{N/m^{2}\cdot m}= \mathrm{N/m} multiplicado por m^{2} depois dará N; aqui vamos usar direto para obter força em newtons.

Passo 8

Agora multiplicamos pelo (H_2^{2}-H_1^{2}):
\Delta F = 48\,069 \times 21,1791 = 1\,018\,058,16\\ \mathrm{N}.
Expliquei os números: 48\,069 (resultado do fator) vezes 21,1791 (diferença dos quadrados das alturas) dá aproximadamente 1\,018\,058,16\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Converter para \mathrm{kN} (dividir por 1000):
\Delta F = \frac{1\,018\,058,16}{1000}=1018,06\\ \mathrm{kN}.

Resposta

1018,06 kN

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