Uma mangueira de jardim com diametro interno de
esta ligada a um borrifador (estacionario) que consiste apenas em um recipiente com 20 furos de
de diámetro. Se a água circula na mangueira com uma velocidade de
, com que velocidade deixa os furos do borrifador, em m/s?
(f) 22,83
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (o que o problema dá e o que pede):\n
- Diâmetro interno da mangueira:
.\n - Velocidade da água na mangueira:
.\n - O borrifador tem
furos, cada um com diâmetro .\n - Pergunta: com que velocidade a água sai pelos furos do borrifador (em
)?\n
Passo 2
Princípio físico que vou usar (explicação didática e fórmulas envolvidas):\n
Em escoamento incompressível e estacionário a vazão volumétrica é conservada. Isso significa que a quantidade de volume de água que entra por segundo na mangueira é a mesma que sai pelos furos por segundo. Definindo:\n
= área da secção interna da mangueira,\n
= velocidade na mangueira,\n
= área total somada dos
furos,\n
= velocidade da água nos furos,\n
temos a relação de continuidade (vazão constante):\n
Em escoamento incompressível e estacionário a vazão volumétrica é conservada. Isso significa que a quantidade de volume de água que entra por segundo na mangueira é a mesma que sai pelos furos por segundo. Definindo:\n
temos a relação de continuidade (vazão constante):\n
Daí isolamos a velocidade nos furos:\n
Comentário sobre áreas de círculo: a área de um círculo de diâmetro
é\n
e, se houver
furos idênticos,
.
Passo 3
Conversão de unidades (muito importante para consistência):\n
-
\n -
\n
(Explicação:; multiplicamos os valores em cm por para obter metros.)
Passo 4
Calcular a área da seção da mangueira
:\n
Agora calculamos
. Então\n
(Expliquei cada passo: primeiro ao quadrado o diâmetro, depois multiplico por
.)
Passo 5
Calcular a vazão volumétrica
que passa pela mangueira:\n
Fazendo a multiplicação:\n
(Interpretação: a cada segundo passam aproximadamente
de água.)
Passo 6
Calcular a área de um furo e a área total dos
furos:\n
Área de um furo:\n
Área de um furo:\n
Calculando
. Assim\n
Área total dos
furos:\n
Passo 7
Calcular a velocidade nos furos usando a relação de continuidade:\n
Fazendo a divisão obtemos aproximadamente\n
(Interpretação final: como a área total dos furos é muito menor que a área da mangueira, a velocidade aumenta bastante ao passar para os furos.)