Uma mangueira de jardim com diametro interno de 2,34 \mathrm{~cm} esta ligada a um borrifador (estacionario) que consiste apenas em um recipiente com 20 furos de 0,13 \mathrm{~cm} de diámetro. Se a água circula na mangueira com uma velocidade de 0,69 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com que velocidade deixa os furos do borrifador, em m/s?
\begin{array}{lllll}\text { (a) } 3,04 & \text { (b) } 7,94 & \text { \text{(c)} } 11,18 & \text { (d) } 15,30 & \text { (e) } 19,15\end{array} (f) 22,83

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que o problema dá e o que pede):\n
  • Diâmetro interno da mangueira: d_{\text{m}}=2,34\\ \mathrm{cm}.\n
  • Velocidade da água na mangueira: v_{\text{m}}=0,69\\ \mathrm{m/s}.\n
  • O borrifador tem 20 furos, cada um com diâmetro d_{\text{f}}=0,13\\ \mathrm{cm}.\n
  • Pergunta: com que velocidade a água sai pelos furos do borrifador (em \mathrm{m/s})?\n

Passo 2

Princípio físico que vou usar (explicação didática e fórmulas envolvidas):\n
Em escoamento incompressível e estacionário a vazão volumétrica é conservada. Isso significa que a quantidade de volume de água que entra por segundo na mangueira é a mesma que sai pelos furos por segundo. Definindo:\n
A_{\text{m}} = área da secção interna da mangueira,\n
v_{\text{m}} = velocidade na mangueira,\n
A_{\text{tot}} = área total somada dos 20 furos,\n
v_{\text{f}} = velocidade da água nos furos,\n
temos a relação de continuidade (vazão constante):\n
Q = A_{\text{m}}\,v_{\text{m}} = A_{\text{tot}}\,v_{\text{f}}.\n
Daí isolamos a velocidade nos furos:\n
v_{\text{f}}=\frac{A_{\text{m}}\,v_{\text{m}}}{A_{\text{tot}}}.\n
Comentário sobre áreas de círculo: a área de um círculo de diâmetro d é\n
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{\pi d^{2}}{4},\n
e, se houver n furos idênticos, A_{\text{tot}}=n\cdot A_{\text{furo}}.

Passo 3

Conversão de unidades (muito importante para consistência):\n
  • d_{\text{m}}=2,34\\ \mathrm{cm}=0,0234\\ \mathrm{m}.\n
  • d_{\text{f}}=0,13\\ \mathrm{cm}=0,0013\\ \mathrm{m}.\n
    (Explicação: 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}; multiplicamos os valores em cm por 0,01 para obter metros.)

Passo 4

Calcular a área da seção da mangueira A_{\text{m}}:\n
A_{\text{m}}=\frac{\pi d_{\text{m}}^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0234)^{2}}{4}.\n
Agora calculamos (0,0234)^{2}=0,00054756. Então\n
A_{\text{m}}=\frac{\pi\cdot 0,00054756}{4}=\pi\cdot 0,00013689\approx 0,00042977\\ \mathrm{m^{2}}.\n
(Expliquei cada passo: primeiro ao quadrado o diâmetro, depois multiplico por \pi/4.)

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica Q que passa pela mangueira:\n
Q=A_{\text{m}}\,v_{\text{m}}=0,00042977\\ \mathrm{m^{2}}\times 0,69\\ \mathrm{m/s}.\n
Fazendo a multiplicação:\n
Q\approx 0,00029659\\ \mathrm{m^{3}/s}.\n
(Interpretação: a cada segundo passam aproximadamente 2,9659\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}} de água.)

Passo 6

Calcular a área de um furo e a área total dos 20 furos:\n
Área de um furo:\n
A_{\text{furo}}=\frac{\pi d_{\text{f}}^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0013)^{2}}{4}.\n
Calculando (0,0013)^{2}=0,0000016900=1,69\times10^{-6}. Assim\n
A_{\text{furo}}=\pi\cdot\frac{1,69\times10^{-6}}{4}=\pi\cdot 4,225\times10^{-7}\approx 1,32645\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
Área total dos 20 furos:\n
A_{\text{tot}}=20\cdot A_{\text{furo}}=20\cdot 1,32645\times10^{-6}\approx 2,6529\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Calcular a velocidade nos furos usando a relação de continuidade:\n
v_{\text{f}}=\frac{Q}{A_{\text{tot}}}=\frac{0,00029659}{2,6529\times10^{-5}}.\n
Fazendo a divisão obtemos aproximadamente\n
v_{\text{f}}\approx 11,18\\ \mathrm{m/s}.\n
(Interpretação final: como a área total dos furos é muito menor que a área da mangueira, a velocidade aumenta bastante ao passar para os furos.)

Resposta

11,18\\ \mathrm{m/s}

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