Um flutuador tem a forma de un cilindro reto, com 0,471 \mathrm{~m} de altura e 4,6 \mathrm{~m}^{2} de área das bases; sua massa específica é 0,396 vezes a massa especifica da água doce. Inicialmente o flutuador é mantido totalmente imerso em água doce, com a face superior na superfície da água. Em seguida é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar. Qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador durante a subida, em kJ?
\begin{array}{llllll}\text { (a) } 2,46 & \text { (b) } 3,25 & \text { \text{(c)} } 4,22 & \text { (d) } 4,85 & \text { (e) } 5,80 & \text { (f) } 6,23\end{array}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho realizado pelo empuxo durante a subida:
  • altura do cilindro H=0,471\\ \mathrm{m}
  • área da base A=4,6\\ \mathrm{m}^{2}
  • massa específica do flutuador \rho_{f}=0,396\,\rho_{\text{água}}á (ou seja, o flutuador tem densidade 39{,}6\% da água doce)
  • condição inicial: o flutuador está totalmente imerso com a face superior exatamente na superfície (submersão inicial h_{\text{ini}}=H)
  • o flutuador é liberado e sobe até a posição de equilíbrio (flutuação parcial).
Pergunta: qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador durante essa subida, em kJ?

Passo 2

Principais conceitos que vamos usar (explicação didática curta):
  • Empuxo (Princípio de Arquimedes): o empuxo B é igual ao peso do fluido deslocado:
B = \rho_{\text{água}}\,g\,V_{\text{sub}},á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade da água doce, g é a aceleração da gravidade e V_{\text{sub}} é o volume submerso.
  • Para um cilindro vertical de área da base A e profundidade submersa h, o volume submerso é V_{\text{sub}}=A\,h. Assim
B(h)=\rho_{\text{água}}\,g\,A\,h.á
  • A posição de equilíbrio (flutuação) ocorre quando o empuxo fica igual ao peso do corpo. O peso do flutuador é
P_{\text{flut}}=\rho_{f}\,g\,A\,H.
Usarei \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Determinar a submersão no equilíbrio h_{\text{eq}}.
Igualando empuxo ao peso:
\rho_{\text{água}}\,g\,A\,h_{\text{eq}}=\rho_{f}\,g\,A\,H.á
Cancelando g e A,
h_{\text{eq}}=\frac{\rho_{f}}{\rho_{\text{água}}}\,H.á
Como \rho_{f}=0{,}396\,\rho_{\text{água}}á, temos
h_{\text{eq}}=0{,}396\,H.
Calculemos numericamente:
h_{\text{eq}}=0{,}396\cdot 0{,}471=0{,}186516\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o deslocamento vertical durante a subida.
O flutuador sai de submersão H e vai para h_{\text{eq}}, então o deslocamento vertical (subida) é
X=H-h_{\text{eq}}=(1-0{,}396)H=0{,}604\,H.
Numericamente:
X=0{,}604\cdot 0{,}471=0{,}284484\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Expressão do empuxo ao longo da subida e fórmula do trabalho.
Se tomamos x como a coordenada de subida ( x=0 no início, x=X no final), a profundidade submersa é h(x)=H-x. Logo o empuxo depende de x por
B(x)=\rho_{\text{água}}\,g\,A\,(H-x).á
O trabalho realizado pelo empuxo ao longo da subida é a integral do empuxo ao longo do deslocamento (força e deslocamento têm a mesma direção e sentido):
W=\int_{0}^{X} B(x)\,dx=\rho_{\text{água}}\,g\,A\int_{0}^{X}(H-x)\,dx.á
Integrando:
W=\rho_{\text{água}}\,g\,A\left[H\,X-\frac{X^{2}}{2}\right].á

Passo 6

Substituir X=0{,}604\,H e simplificar simbolicamente antes de numerar:
H\,X-\frac{X^{2}}{2}=H(0{,}604H)-\frac{(0{,}604H)^{2}}{2}=H^{2}\left(0{,}604-\frac{0{,}604^{2}}{2}\right).
Calcule o fator numérico:
0{,}604^{2}=0{,}364816,\qquad \frac{0{,}364816}{2}=0{,}182408,
0{,}604-0{,}182408=0{,}421592.
Portanto
W=\rho_{\text{água}}\,g\,A\,H^{2}\cdot 0{,}421592.á

Passo 7

Cálculo numérico detalhado.
Calcule H^{2}:
H^{2}=(0{,}471)^{2}=0{,}221841.
Multiplicar por A:
A\,H^{2}=4{,}6\cdot 0{,}221841=1{,}0204686.
Multiplicar por \rho_{\text{água}}\,gá:
\rho_{\text{água}}\,g=1000\cdot 9{,}81=9810\\ \mathrm{N/m^{3}}.á
\rho_{\text{água}}\,g\,A\,H^{2}=9810\cdot 1{,}0204686=10010{,}091914\\ \mathrm{N\cdot m}.á
Agora multiplicar pelo fator 0{,}421592:
W=10010{,}091914\cdot 0{,}421592\approx 4240{,}09\\ \mathrm{J}.
Converter para kJ:
W\approx 4{,}24009\\ \mathrm{kJ}\approx 4{,}24\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

4,24 kJ

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