Um flutuador tem a forma de un cilindro reto, com
de altura e
de área das bases; sua massa específica é 0,396 vezes a massa especifica da água doce. Inicialmente o flutuador é mantido totalmente imerso em água doce, com a face superior na superfície da água. Em seguida é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar. Qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador durante a subida, em kJ?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho realizado pelo empuxo durante a subida:
- altura do cilindro
- área da base
- massa específica do flutuador
(ou seja, o flutuador tem densidade da água doce) - condição inicial: o flutuador está totalmente imerso com a face superior exatamente na superfície (submersão inicial
) - o flutuador é liberado e sobe até a posição de equilíbrio (flutuação parcial).
Pergunta: qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador durante essa subida, em kJ?
Passo 2
Principais conceitos que vamos usar (explicação didática curta):
- Empuxo (Princípio de Arquimedes): o empuxo
é igual ao peso do fluido deslocado:
onde
é a densidade da água doce,
é a aceleração da gravidade e
é o volume submerso.
- Para um cilindro vertical de área da base
e profundidade submersa , o volume submerso é . Assim
- A posição de equilíbrio (flutuação) ocorre quando o empuxo fica igual ao peso do corpo. O peso do flutuador é
Usarei
e
.
Passo 3
Determinar a submersão no equilíbrio
.
Igualando empuxo ao peso:
Cancelando
e
,
Como
, temos
Calculemos numericamente:
Passo 4
Determinar o deslocamento vertical durante a subida.
O flutuador sai de submersão
e vai para
, então o deslocamento vertical (subida) é
Numericamente:
Passo 5
Expressão do empuxo ao longo da subida e fórmula do trabalho.
Se tomamos
como a coordenada de subida (
no início,
no final), a profundidade submersa é
. Logo o empuxo depende de
por
O trabalho realizado pelo empuxo ao longo da subida é a integral do empuxo ao longo do deslocamento (força e deslocamento têm a mesma direção e sentido):
Integrando:
Passo 6
Substituir
e simplificar simbolicamente antes de numerar:
Calcule o fator numérico:
Portanto
Passo 7
Cálculo numérico detalhado.
Calcule
:
Multiplicar por
:
Multiplicar por
:
Agora multiplicar pelo fator
:
Converter para kJ:
Resposta
4,24 kJ