Um aquário em formato de um paralelepípedo sem tampa, com volume V, possui a base feita de ardósia e os lados de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

O enunciado dá um aquário aberto (paralelepípedo sem tampa) de volume ,V, com base de ardósia e lados de vidro, sabendo-se que o preço da ardósia por área vale cinco vezes o preço do vidro. O conteúdo é otimização com restrição de volume, e vamos usar cálculo de derivadas (ou multiplicadores de Lagrange) para minimizar o custo total do material.

Passo 2

Definimos as variáveis:
,x e ,y são as dimensões da base, e ,z é a altura. A restrição de volume é
xyz = V
Sejam cg o custo por unidade de área do vidro e cs = 5cg o custo por unidade de área da ardósia. O custo total é
C = cs,(x y) + cgl(2xz + 2yzr) = cgl(5,xy + 2z(x+y)r)
Como cg é constante, basta minimizar
f(x,y,z) = 5,xy + 2,z,(x+y)
sob a restrição xyz=V.

Passo 3

Eliminamos z usando z=V/(xy). Assim
f(x,y) ;=; 5,xy ;+; 2,Vxy,(x+y) ;=; 5,xy ;+; 2Vl(1x+1yr)

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x = 5,y ;-;2V,1x^2 ;=;0, partial fpartial y = 5,x ;-;2V,1y^2 ;=;0
Da primeira vem
5,y = 2Vx^2 Longrightarrow y = 2V5,x^2,
e da segunda
5,x = 2Vy^2 Longrightarrow x = 2V5,y^2

Passo 5

Multiplicando as duas expressões, obtemos
x^2y ;=;2V5 e xy^2 ;=;2V5 Longrightarrow x=y
Substituindo y=x em 5y = 2V/x^2
5,x = 2Vx^2 Longrightarrow x^3 = 2V5 Longrightarrow x = l(tfrac2V5r)^!1/3
Como y=x e z=V/(x^2), temos
y = l(tfrac2V5r)^!1/3, z = Vl(tfrac2V5r)^2/3 = l(tfrac52r)^!2/3 V^1/3
Este ponto crítico corresponde ao mínimo de custo, pois em fronteiras o custo tende a crescer.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são
x = y = l(tfrac2V5r)^!1/3, z = l(tfrac52r)^!2/3V^1/3

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