Um aquário em formato de um paralelepípedo sem tampa, com volume
, possui a base feita de ardósia e os lados de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
O enunciado dá um aquário aberto (paralelepípedo sem tampa) de volume
, com base de ardósia e lados de vidro, sabendo-se que o preço da ardósia por área vale cinco vezes o preço do vidro. O conteúdo é otimização com restrição de volume, e vamos usar cálculo de derivadas (ou multiplicadores de Lagrange) para minimizar o custo total do material.
Passo 2
Definimos as variáveis:
e
são as dimensões da base, e
é a altura. A restrição de volume é
Sejam
o custo por unidade de área do vidro e
o custo por unidade de área da ardósia. O custo total é
Como
é constante, basta minimizar
sob a restrição
.
Passo 3
Eliminamos
usando
. Assim
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Da primeira vem
e da segunda
Passo 5
Multiplicando as duas expressões, obtemos
Substituindo
em
dá
Como
e
, temos
Este ponto crítico corresponde ao mínimo de custo, pois em fronteiras o custo tende a crescer.
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são