Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar o critério de diferenciabilidade: calcular as derivadas parciais em (0,0) e verificar se o resíduo
R(x,y)=f(x,y)-l[f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),yr]
satisfaz lim(x,y)to(0,0)R(x,y)raizx^2+y^2=0.
]

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tfrach^3h^2+0-0h =limhto0hh=1

Passo 3

De modo semelhante, a derivada parcial de f em relação a y em (0,0) é
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00k=0

Passo 4

O candidato a aproximação linear de f em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y =0+1cdot x+0cdot y=x

Passo 5

O resíduo é
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y) =x^3x^2+y^2-x =x^3-x(x^2+y^2)x^2+y^2 =-x,y^2x^2+y^2

Passo 6

Para testar a diferenciabilidade, analisamos
R(x,y)raizx^2+y^2 =-x,y^2(x^2+y^2)raizx^2+y^2
Se escolhermos, por exemplo, a reta y=x, então
R(x,x)=-xcdot x^22x^2=-x2, raizx^2+x^2=|x|raiz2,
logo
R(x,x)raizx^2+x^2 =-x/2|x|raiz2 =-12raiz2neq0 (forall xneq0)
Como esse quociente não tende a zero quando (x,y)to(0,0) pela reta y=x, a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados