Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=+infty, lim x x0 g(x)=0, h(x)=f(x)g(x)

Passo 1

O enunciado está em análise de limites de funções reais: temos f e g definidas em DsubsetR, com um ponto de acumulação x0in D'. Sabemos que
limxto x0f(x)=+infty, limxto x0g(x)=0,
e queremos discutir o comportamento de
h(x)=f(x)g(x)
quando xto x0. Vamos usar as propriedades de limites de funções e raciocinar por contraste de sinais e valores extremos.

Passo 2

Primeiro, observe que f(x) tende a +infty, ou seja, para valores de x próximos de x0, f(x) fica arbitrariamente grande e positivo. Já g(x) tende a 0, mas não temos informação sobre o sinal de g(x) nem sua forma de aproximação (se pelo lado positivo, negativo ou oscilando).

Passo 3

Mesmo sem saber o sinal de g(x), note que o módulo do quociente satisfaz
l|h(x)r| =|f(x)g(x)| =l|f(x)r|l|g(x)r|
e como l|f(x)r|to+infty e l|g(x)r|to0, o quociente em módulo tende a +infty. Logo
limxto x0l|h(x)r|=+infty

Passo 4

Para determinar o sinal de h(x) (ou seja, se lim h(x) é +infty, -infty ou não existe), é preciso saber como g(x) se aproxima de zero:
– Se limxto x0g(x)=0^+, isto é, g(x)>0 e fica cada vez menor, então para x próximo de x0 temos g(x)>0 e f(x)>0, de modo que
h(x)=f(x)g(x)>0
e, em módulo, diverge para +infty. Concluímos
limxto x0h(x)=+infty

Passo 5

Se, em vez disso, limxto x0g(x)=0^-, isto é, g(x)<0 perto de x0, então f(x)>0 e g(x)<0 implicam h(x)<0 em torno do ponto. Novamente |h(x)|to+infty, mas o sinal é negativo, logo
limxto x0h(x)=-infty

Passo 6

Se não há controle do sinal de g(x) — por exemplo, se g(x) muda de sinal infinitas vezes ao se aproximar de x0 — o valor de h(x) oscilará entre valores muito positivos e muito negativos, sempre com módulo crescendo sem limite. Nesse caso não existe limite nem mesmo no sentido estendido, pois o quociente não se fixa nem em +infty nem em -infty.

Resposta

Dependendo de como g(x) tende a zero, temos:
(a) Se g(x)to0^+, então limxto x0h(x)=+infty.
(b) Se g(x)to0^-, então limxto x0h(x)=-infty.
(c) Se g(x) muda de sinal ao se aproximar de x0, então limxto x0h(x) não existe.
Em todo caso, atende-se limxto x0l|h(x)r|=+infty.

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