Nos exercĂ­cios 1 e 2 , calcule d zd t de dois modos:
a) usando a regra da cadeia;
b) determinando a função composta z(t) e derivando em relação a t .
z=y e^x+x e^y, x=cos t, y=sen t.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z(x,y)=y,e^x+x,e^y
com as parametrizações x(t)=cos t e y(t)=sin t.
O objetivo é calcular tfracdzdt de duas maneiras:
a) pela regra da cadeia em derivadas parciais;
b) explicitando z(t)=zl(x(t),y(t)r) e derivando diretamente.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de z.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
partial zpartial x =partialpartial xl(y,e^x+x,e^yr) =y,e^x+e^y
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
partial zpartial y =partialpartial yl(y,e^x+x,e^yr) =e^x+x,e^y

Passo 3

Pela regra da cadeia para variáveis dependentes de t:
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
Sabendo que x(t)=cos t e y(t)=sin t, temos
dxdt=-sin t, dydt=cos t
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dzdt =l(y,e^x+e^yr)(-,sin t) +l(e^x+x,e^yr)cos t

Passo 4

Substituindo x=cos t e y=sin t na expressão acima:
dzdt =l(sin t,e^cos t+e^sin tr)(-,sin t) +l(e^cos t+cos t,e^sin tr)cos t
Podemos escrever em forma agrupada:
dzdt =e^cos tl(cos t-sin^2 tr) +e^sin tl(cos^2 t-sin tr)

Passo 5

Agora pelo método (b), primeiro formamos a função composta
z(t)=sin t,e^cos t+cos t,e^sin t
Em seguida derivamos termo a termo.

Passo 6

Derivando z(t):
Para sin t,e^cos t usamos produto:
ddtl(sin t,e^cos tr) =cos t,e^cos t +sin tl(e^cos tcdot(-sin t)r) =cos t,e^cos t-sin^2 t,e^cos t
Para cos t,e^sin t:
ddtl(cos t,e^sin tr) =-sin t,e^sin t +cos tl(e^sin tcdotcos tr) =-sin t,e^sin t+cos^2 t,e^sin t
Somando os dois resultados, obtemos exatamente
dzdt =e^cos tl(cos t-sin^2 tr) +e^sin tl(cos^2 t-sin tr),
coincidente com (a).

Resposta

dzdt =e^cos tl(cos t-sin^2 tr) +e^sin tl(cos^2 t-sin tr)

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