Nos exercĂcios 1 e 2 , calcule
de dois modos:
a) usando a regra da cadeia;
b) determinando a função composta
e derivando em relação a
.
.
a) usando a regra da cadeia;
b) determinando a função composta
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
com as parametrizações
e
.
O objetivo é calcular de duas maneiras:
a) pela regra da cadeia em derivadas parciais;
b) explicitando e derivando diretamente.
O objetivo é calcular
a) pela regra da cadeia em derivadas parciais;
b) explicitando
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a (tratando
como constante):
Derivando em relação a
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 3
Pela regra da cadeia para variáveis dependentes de
:
Sabendo que
e
, temos
Logo
Passo 4
Substituindo
e
na expressão acima:
Podemos escrever em forma agrupada:
Passo 5
Agora pelo método (b), primeiro formamos a função composta
Em seguida derivamos termo a termo.
Passo 6
Derivando
:
Para usamos produto:
Para
Para
:
Somando os dois resultados, obtemos exatamente
coincidente com (a).