Um aquário de volume 54.000 \mathrm{~cm}^{2} em forma de paralelepípedo e sem tampa será construído. O custo, por \mathrm{cm}^{2}, do vidro usado na base é o quádruplo do custo do vidro usado nas laterais. Se x, y e z são as dimensões do aquário, em cm, que minimizam o custo de fabricação, então x+y+z é igual a
(A) 120 .
(B) 90.
(C) \frac{30}{\sqrt[3]{2}}.
(D) 30 \sqrt[3]{2}.
(E) 100 .
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões (x,y,z) de um paralelepípedo sem tampa, de volume 54\,000,cm^{3}, que minimizam o custo de fabricação, sabendo que o vidro da base custa quatro vezes o vidro das laterais. O conteúdo é otimização com restrição de volume; vamos usar substituição (ou multiplicadores de Lagrange) para resolver.

Passo 2

Sejam as dimensões do aquário x, y e z.
A área da base é \,xy e o custo por c m^{2} nela é quatro vezes o das laterais; as quatro faces laterais somam área 2xz+2yz e custo unitário 1 (em unidades relativas). Logo o custo total, a menos de constante, é
C(x,y,z)=4\,xy + 2\bigl(xz+yz\bigr).
A restrição de volume é
xyz = 54\,000.

Passo 3

Da restrição isolamos
z = \frac{54\,000}{xy}
e substituímos em C, obtendo função de duas variáveis:
C(x,y)=4\,xy \;+\;2\biggl(x+y\biggr)\frac{54\,000}{xy} =4\,xy + 108\,000\Bigl(\tfrac1y+\tfrac1x\Bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\frac{\partial C}{\partial x} =4\,y -108\,000\,\frac{1}{x^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{108\,000}{4\,x^2} = \frac{27\,000}{x^2},
\frac{\partial C}{\partial y} =4\,x -108\,000\,\frac{1}{y^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{27\,000}{y^2}.
Como a função é simétrica em x e y, concluímos x=y.

Passo 5

Tomando x=y num dos resultados:
y = \frac{27\,000}{x^2} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{27\,000}{x^2} \quad\Rightarrow\quad x^3 = 27\,000 \quad\Rightarrow\quad x = 30.
Logo y=30. Então da restrição
z = \frac{54\,000}{x\,y} = \frac{54\,000}{30\cdot30} = 60.

Passo 6

Com x=30, y=30 e z=60, temos
x+y+z = 30 + 30 + 60 = 120.

Resposta

(A) 120

Exercícios relacionados