Um aquário de volume
em forma de paralelepípedo e sem tampa será construído. O custo, por
, do vidro usado na base é o quádruplo do custo do vidro usado nas laterais. Se
e
são as dimensões do aquário, em cm, que minimizam o custo de fabricação, então
é igual a
(A) 120 .
(B) 90.
(C)
.
(D)
.
(E) 100 .
(F) outro valor.
(A) 120 .
(B) 90.
(C)
(D)
(E) 100 .
(F) outro valor.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões
de um paralelepípedo sem tampa, de volume
,cm^{3}, que minimizam o custo de fabricação, sabendo que o vidro da base custa quatro vezes o vidro das laterais. O conteúdo é otimização com restrição de volume; vamos usar substituição (ou multiplicadores de Lagrange) para resolver.
Passo 2
Sejam as dimensões do aquário
,
e
.
A área da base é e o custo por c
nela é quatro vezes o das laterais; as quatro faces laterais somam área
e custo unitário
(em unidades relativas). Logo o custo total, a menos de constante, é
A área da base é
A restrição de volume é
Passo 3
Da restrição isolamos
e substituímos em
, obtendo função de duas variáveis:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Como a função é simétrica em
e
, concluímos
.
Passo 5
Tomando
num dos resultados:
Logo
. Então da restrição
Passo 6
Com
,
e
, temos
Resposta
(A)