Se z=a x+b y+c é uma equação para o plano tangente ao gráfico de f(x, y)=3 x^{2} y^{2}-x y+y^{3}+1 no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,-1), então a+b+c é igual a
(A) -1 .
(B) -3 .
(C) 1 .
(D) -4 .
(E) 4.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de
f(x,y)=3x^{2}y^{2}-xy+y^{3}+1
no ponto (x_{0},y_{0})=(1,-1).
O conteúdo aqui é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
z = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0) + f(x_0,y_0).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{2}-xy+y^{3}+1\bigr) =6x\,y^{2}-y,
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}-xy+y^{3}+1\bigr) =6x^{2}y - x + 3y^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos em (1,-1):
f_x(1,-1)=6\cdot1\cdot(-1)^{2}-(-1)=6+1=7,
f_y(1,-1)=6\cdot1^{2}\cdot(-1)-1+3\cdot(-1)^{2}=-6-1+3=-4,
f(1,-1)=3\cdot1^{2}\cdot(-1)^{2}-1\cdot(-1)+(-1)^{3}+1 =3+1-1+1=4.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z = 7\,(x-1) + (-4)\,(y+1) + 4.
Simplificando:
z = 7x -7 -4y -4 +4 = 7x -4y -7.
Portanto a=7, b=-4 e c=-7.

Passo 5

Calculamos
a+b+c = 7 + (-4) + (-7) = -4.
Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

-4

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