Uma possível equação para o plano que contém as retas
r:\left\{\begin{array}{l} y=2 x-3 \\\ z=-x+2 \end{array} \quad \text { e } \quad s:(x, y, z)=(1,-1,1)+t(3,0,5)\right.
é
(A) 3 x-5 z+2=0.
(B) 5 x-4 y-3 z-6=0.
(C) -x+2 y+3 z=0.
(D) x+y+3 z-3=0.
(E) 2 x-y-3=0.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que contém as retas
r dada pelas equações
y=2x-3,
z=-x+2
e s dada por
(x,y,z)=(1,-1,1)+t\,(3,0,5).
O conteúdo envolve representação paramétrica de retas, cálculo de vetor normal de um plano via produto vetorial e formulação da equação cartesiana do plano.

Passo 2

Representamos parametricamente cada reta e extraímos seus vetores de direção.
Para r, tomamos parâmetro u:
(x,y,z)=(u,\;2u-3,\;-u+2).
Logo a direção de r é
\mathbf v_r=(1,2,-1).
Para s, já vem em forma paramétrica com parâmetro t:
(x,y,z)=(1,-1,1)+t\,(3,0,5),
logo a direção de s é
\mathbf v_s=(3,0,5).

Passo 3

Escolhemos um ponto P_0 em r para usar na equação do plano. Por exemplo, para u=0 obtemos
P_0=(0,\,-3,\,2).

Passo 4

O vetor normal \mathbf n do plano é ortogonal às direções \mathbf v_r e \mathbf v_s. Calculamos o produto vetorial:
\mathbf n = \mathbf v_r \times \mathbf v_s = (1,2,-1)\times(3,0,5).
Fazendo a conta,
\mathbf n=(10,\,-8,\,-6),
que simplifica para
\mathbf n=(5,-4,-3).

Passo 5

A equação cartesiana do plano com normal (5,-4,-3) passando por P_0=(0,-3,2) é
5(x-0)-4\bigl(y+3\bigr)-3\bigl(z-2\bigr)=0.
Expandindo e reorganizando,
5x-4y-12-3z+6=0 \quad\Longrightarrow\quad 5x-4y-3z-6=0.
Essa é a opção (B).

Resposta

(B) 5x-4y-3z-6=0

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