O objetivo principal deste trabalho é que vocês encontrem a representação em Série de Fourier da função f(t)\). \(f(t)= \begin{cases}0, & -\pi<t<0 \\\ \pi-t, & 0<t<\pi\end{cases}
Os primeiros termos da série.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(t)= \begin{cases} 0,& -\pi<t<0,\\\ \pi - t,& 0<t<\pi. \end{cases}
Vamos usar as fórmulas gerais para obter a_0\], \(a_n e b_n.

Passo 2

As fórmulas gerais da série de Fourier para função de período 2\pi são
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt
e a série fica
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr).

Passo 3

Como f(t)=0 em -\pi<t<0,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(\pi - t)\,dt =\frac{1}{\pi}\Bigl[\pi t-\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\,\frac{\pi^2}{2} =\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Para a_n usamos integração por partes em \int_{0}^{\pi}(\pi - t)\cos(nt)\,dt. O resultado é
a_n =\frac{1}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2} =\frac{1-(-1)^n}{\pi\,n^2},
logo a_n=0 se n é par e a_n=\tfrac{2}{\pi n^2} se n é ímpar.

Passo 5

Para b_n fazemos integração por partes em \int_{0}^{\pi}(\pi - t)\sin(nt)\,dt e obtemos
b_n =\frac{1}{\pi}\,\frac{\pi}{n} =\frac{1}{n}
para todo n\ge1.

Passo 6

Substituindo em
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\Bigr)
temos a série completa
f(t) =\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^\infty\!\Bigl(\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nt)+\frac{1}{n}\sin(nt)\Bigr).
Os primeiros termos (até n=3) são
f(t)\approx \frac{\pi}{4} +\frac{2}{\pi}\cos(t) +\sin(t) +0\cdot\cos(2t) +\tfrac{1}{2}\sin(2t) +\frac{2}{9\pi}\cos(3t) +\tfrac{1}{3}\sin(3t) +\cdots.

Resposta

f(t) =\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^\infty\!\Bigl(\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nt)+\frac{1}{n}\sin(nt)\Bigr),
com primeiros termos
\frac{\pi}{4} +\frac{2}{\pi}\cos t +\sin t +\frac{1}{2}\sin(2t) +\frac{2}{9\pi}\cos(3t) +\frac{1}{3}\sin(3t) +\cdots.

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