Quando se aquece uma amostra de \mathrm{CO}_{2}, a pressão constante de 125 atm , sua temperatura passa de 250 a 277 K . A \mathrm{C}_{p, \mathrm{~m}} tem o valor de 37,11 \mathrm{J} \mathrm{K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}. Calcular \mathrm{q}, \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{U}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
  • Pressão constante: P=125\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=250\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_{2}=277\\ \mathrm{K}.
  • Capacidade calorífica molar a pressão constante: C_{p,\mathrm{m}}=37,11\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-1}.
O enunciado pede: calcular q, \Delta H e \Delta U.
Observação necessária (assunção): o enunciado não informou a quantidade de substância (n). Vou assumir que se pede os valores por mol (ou que a amostra é de n=1\\ \mathrm{mol}). Se quiseres para outra quantidade, multiplica pelos moles.
Repare que a pressão dada ( 125\\ \mathrm{atm}) é irrelevante para o cálculo de q e \Delta H quando se usa C_{p,\mathrm{m}} constante — esses valores dependem de \Delta T e de C_{p,\mathrm{m}}. A pressão só entraria se precisássemos do trabalho w=-P\Delta V explicitamente.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • O calor trocado a pressão constante é dado por q_{p}=n\displaystyle\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{p,\mathrm{m}}\,\mathrm{d}T.
    • Aqui q_{p} é o calor trocado (em J), n é o número de mols, C_{p,\mathrm{m}} é a capacidade calorífica molar a pressão constante (em \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-1}) e \mathrm{d}T é o elemento de temperatura.
    • Se C_{p,\mathrm{m}} for aproximadamente constante no intervalo T_{1} T_{2}, a integral fica q_{p}=n\,C_{p,\mathrm{m}}(T_{2}-T_{1}).
  • A entalpia H é definida por H=U+PV. Para processos a pressão constante e substâncias ideais, o calor trocado a pressão constante é igual à variação de entalpia: q_{p}=\Delta H. Em termos práticos, em uma transformação a P constante e sem outras formas de trabalho não-PV, \Delta H=q_{p}.
  • A energia interna U para um gás ideal depende apenas da temperatura; a variação é \Delta U = n\,C_{v,\mathrm{m}}(T_{2}-T_{1}), onde C_{v,\mathrm{m}} é a capacidade calorífica molar a volume constante. As capacidades estão relacionadas por
C_{p,\mathrm{m}}-C_{v,\mathrm{m}}=R,
onde R é a constante universal dos gases (vai aparecer no cálculo).
  • A constante R em unidades SI vale aproximadamente R=8,3145\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 3

Calcular q (por mol, com n=1).
  • Primeiro a variação de temperatura:
\Delta T = T_{2}-T_{1}=277-250=27\\ \mathrm{K}.
  • Como C_{p,\mathrm{m}} é tratado como constante, usamos
q_{p}=n\,C_{p,\mathrm{m}}\,\Delta T.
  • Substituindo n=1, C_{p,\mathrm{m}}=37,11\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-1} e \Delta T=27\\ \mathrm{K},
q_{p}=1\cdot 37,11\cdot 27 = 1001,97\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando de forma compatível com os dados, q_{p}\approx 1002\\ \mathrm{J}.
    Interpretação: esse é o calor absorvido pela amostra ao aquecer de 250\\ \mathrm{K} para 277\\ \mathrm{K} a pressão constante.

Passo 4

Calcular \Delta H.
  • Pela propriedade citada, em processo a pressão constante:
\Delta H = q_{p}.
  • Logo,
\Delta H = 1001,97\\ \mathrm{J}\approx 1002\\ \mathrm{J}.
  • Ou seja, a variação de entalpia é positiva e igual ao calor fornecido.

Passo 5

Calcular \Delta U. Vou fazer de duas maneiras para mostrar que dá o mesmo resultado (é didático):
Método A — usando C_{v,\mathrm{m}}=C_{p,\mathrm{m}}-R:
  • Primeiro calcular C_{v,\mathrm{m}}:
C_{v,\mathrm{m}}=C_{p,\mathrm{m}}-R=37,11-8,3145=28,7955\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Depois
\Delta U = n\,C_{v,\mathrm{m}}\,\Delta T = 1\cdot 28,7955\cdot 27 = 777,4785\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando: \Delta U\approx 777,48\\ \mathrm{J} (ou \approx 777,5\\ \mathrm{J}).
Método B — usando \Delta H=\Delta U + \Delta(PV) e para gás ideal \Delta(PV)=nR\Delta T:
  • Calcular nR\Delta T:
nR\Delta T = 1\cdot 8,3145\cdot 27 = 224,4915\\ \mathrm{J}.
  • Então
\Delta U = \Delta H - nR\Delta T = 1001,97 - 224,4915 = 777,4785\\ \mathrm{J},
que é o mesmo valor obtido no método A — isso confirma que os conceitos e contas estão coerentes.

Passo 6

Resumo físico e sinais: o sistema recebeu calor ( q>0), a entalpia aumentou ( \Delta H>0) e a energia interna aumentou ( \Delta U>0). A pressão fornecida no enunciado não alterou os cálculos porque usamos capacidades molares e relações termodinâmicas que dependem de \Delta T. Se tiveres um número de mols n\neq 1, basta multiplicar os valores acima por n.

Resposta

q = 1001,97\\ \mathrm{J}\approx 1002\\ \mathrm{J}
\Delta H = 1001,97\\ \mathrm{J}\approx 1002\\ \mathrm{J}
\Delta U = 777,4785\\ \mathrm{J}\approx 777,48\\ \mathrm{J}

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