Calcular \Delta \mathrm{U} para o processo de aquecimento de 1 mol de \mathrm{Cl}_{2} de 25^{\circ} \mathrm{C} até 125^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}}=25,635 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} (assumir \mathrm{C}_{\mathrm{v}, \mathrm{m}} constante na faixa de temperatura citada).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
  • Pedido: calcular \Delta U (variação da energia interna) ao aquecer 1 mol de \mathrm{Cl}_2 de 25^\circ\mathrm{C} até 125^\circ\mathrm{C}.\n
  • Dados fornecidos:
    \;n = 1\\ \mathrm{mol}.
    \;T_1 = 25^\circ\mathrm{C}.
    \;T_2 = 125^\circ\mathrm{C}.
    \;C_{v,m} = 25{,}635\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}} (assumido constante na faixa de temperatura).\n
  • Observação do enunciado: foi dito para assumir C_{v,m} constante entre as temperaturas dadas.

Passo 2

Conceito essencial e fórmula que vamos usar:\n
  • O calor específico molar a volume constante, \;C_{v,m}, é a quantidade de energia necessária para aumentar a temperatura de 1 mol da substância em 1\\ \mathrm{K} quando o volume é mantido constante. Suas unidades são \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.\n
  • Para um gás ideal (e, mais geralmente, sempre que C_{v,m} for válido como função só de T), a variação da energia interna ao mudar a temperatura é dada por
\Delta U = n \int_{T_1}^{T_2} C_{v,m}(T)\, dT.
  • Se C_{v,m} é constante (hipótese do enunciado), a integral simplifica para
\Delta U = n\, C_{v,m}\, (T_2 - T_1).
Aqui:
  • \Delta U é a variação da energia interna (em \mathrm{J}),
  • n é o número de mols,
  • C_{v,m} é o calor molar a volume constante,
  • T_1 e T_2 são as temperaturas inicial e final em kelvin (ou graus Celsius, quando usamos a diferença).

Passo 3

Por que posso subtrair temperaturas em °C diretamente e obter \Delta T em K:\n
  • Uma diferença de temperatura tem a mesma magnitude em kelvin e em graus Celsius. Ou seja,
\Delta T = T_2 - T_1 = 125^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = 100\\ \mathrm{K}.
Não é necessário converter os valores absolutos para kelvin porque estamos usando a diferença de temperaturas.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores dados (montando a expressão):\n
\Delta U = n\, C_{v,m}\, \Delta T.
Substituindo simbolicamente:
\Delta U = 1\\ \mathrm{mol} \times 25{,}635\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}} \times 100\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo numérico (multiplicação passo a passo):\n
  • Primeiro calcule C_{v,m}\times\Delta T:
25{,}635 \times 100 = 2563{,}5.
  • Como n=1, multiplicar por n não altera o valor. Portanto a variação da energia interna, em joules, é 2563{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação da unidade e arredondamento (motivação prática para prova):\n
  • O resultado natural está em joules. Para apresentação compacta frequentemente convertemos para quilojoules:
2563{,}5\\ \mathrm{J} = 2{,}5635\\ \mathrm{kJ} \approx 2{,}56\\ \mathrm{kJ}
(se arredondando a três algarismos significativos, comum em problemas de laboratório/prova).\n
  • Está tudo consistente: variação positiva indica ganho de energia interna ao aquecer o gás.

Resposta

\Delta U = 2563{,}5\\ \mathrm{J}\n
\Delta U \approx 2{,}56\\ \mathrm{kJ}

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