Um aquecedor elétrico delgado é enrolado ao redor da superfície externa de um longo tubo cilíndrico cuja superfície interna é mantida a uma temperatura de
. A parede do tubo possui raios interno e externo iguais a 25 e 75 mm , respectivamente, e uma condutividade térmica de
. A resistência térmica de contato entre o aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de comprimento do tubo) é
. A superfície externa do aquecedor está exposta a um fluido com
, com um coeficiente convectivo
. Determine a potência do aquecedor, por unidade de comprimento do tubo, requerida para mantê-lo a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Raio interno do tubo:
. - Raio externo do tubo:
. - Condutividade térmica da parede do tubo:
. - Temperatura da superfície interna mantida:
. - Resistência térmica de contato entre aquecedor e superfície externa do tubo (por unidade de comprimento):
(valor por unidade de comprimento). - Temperatura do fluido distante:
. - Coeficiente convectivo entre a superfície externa do aquecedor e o fluido:
. - Temperatura que o aquecedor deve manter:
. - Pede-se: a potência do aquecedor por unidade de comprimento do tubo (isto é,
em ) necessária para manter .
Passo 2
Modelo físico e estratégia de cálculo (explicação didática):
- O aquecedor, à temperatura
, perde calor por duas vias simultâneas: (i) para o fluido externo por convecção através da sua superfície externa; (ii) para o interior do tubo, atravessando a resistência de contato e depois a parede cilíndrica até a superfície interna mantida em . - Essas duas vias saem do mesmo nó térmico (a superfície do aquecedor a
), portanto a potência total por unidade de comprimento é a soma das potências por cada via: onde é a perda por convecção para o fluido e é o calor conduzido para dentro do tubo. - Cada um desses termos é obtido por uma diferença de temperatura dividida por uma resistência térmica:
onde é a resistência convectiva por unidade de comprimento e é a resistência de condução através da parede cilíndrica (por unidade de comprimento). - Vou agora explicar cada fórmula usada.
Passo 3
Resistência convectiva por unidade de comprimento (aula curta e concreta):
- Área de troca convectiva por unidade de comprimento do cilindro de raio
é (m² por m de comprimento). - A resistência convectiva por unidade de comprimento é
- Substituindo
e (peguei do enunciado):
Passo 4
Resistência de condução na parede cilíndrica (aula sobre a fórmula):
- Para condução radial estacionária em um cilindro o valor da resistência térmica entre raios
e por unidade de comprimento é Aqui é a condutividade e o denominador vem da integração do fluxo radial; essa fórmula dá resistências em para de comprimento. - No nosso caso
e se a corrente vai da superfície externa para a interna; tipicamente usa-se . Assim
Passo 5
Cálculo numérico das resistências (mostrando as contas com calma):
- Primeiro a razão dos raios:
e . - Resistência de condução:
- A resistência de contato foi dada:
. - Portanto a resistência total da via interna é
- Agora a resistência convectiva:
Passo 6
Cálculo das potências por via e somatório final:
- Potência conduzida para o interior (diferença
): - Potência perdida por convecção para o fluido (diferença
): - Potência total que o aquecedor deve fornecer por unidade de comprimento (soma das duas vias):