Um aquecedor elétrico delgado é enrolado ao redor da superfície externa de um longo tubo cilíndrico cuja superfície interna é mantida a uma temperatura de 5^{\circ} \mathrm{C}. A parede do tubo possui raios interno e externo iguais a 25 e 75 mm , respectivamente, e uma condutividade térmica de 10 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). A resistência térmica de contato entre o aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de comprimento do tubo) é =0,01 \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} / \mathrm{W}. A superfície externa do aquecedor está exposta a um fluido com \mathrm{T} \infty=-10^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente convectivo \mathrm{h}=100 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}). Determine a potência do aquecedor, por unidade de comprimento do tubo, requerida para mantê-lo a \mathrm{Te}=25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Raio interno do tubo: r_{i}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo: r_{o}=0,075\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da parede do tubo: k=10\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • Temperatura da superfície interna mantida: T_{i}=5{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Resistência térmica de contato entre aquecedor e superfície externa do tubo (por unidade de comprimento): R_{\mathrm{c}}=0{,}01\\ \mathrm{K}/\mathrm{W} (valor por unidade de comprimento).
  • Temperatura do fluido distante: T_{\infty}=-10{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo entre a superfície externa do aquecedor e o fluido: h=100\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).
  • Temperatura que o aquecedor deve manter: T_{e}=25{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Pede-se: a potência do aquecedor por unidade de comprimento do tubo (isto é, Q' em \mathrm{W}/\mathrm{m}) necessária para manter T_{e}=25{,}^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico e estratégia de cálculo (explicação didática):
  • O aquecedor, à temperatura T_{e}, perde calor por duas vias simultâneas: (i) para o fluido externo por convecção através da sua superfície externa; (ii) para o interior do tubo, atravessando a resistência de contato e depois a parede cilíndrica até a superfície interna mantida em T_{i}.
  • Essas duas vias saem do mesmo nó térmico (a superfície do aquecedor a T_{e}), portanto a potência total por unidade de comprimento Q' é a soma das potências por cada via: Q' = Q'_{\mathrm{conv}} + Q'_{\mathrm{in}},onde Q'_{\mathrm{conv}} é a perda por convecção para o fluido e Q'_{\mathrm{in}} é o calor conduzido para dentro do tubo.
  • Cada um desses termos é obtido por uma diferença de temperatura dividida por uma resistência térmica: Q'_{\mathrm{conv}} = \frac{T_{e}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{conv}}} \quad\text{e}\quad Q'_{\mathrm{in}} = \frac{T_{e}-T_{i}}{R_{\mathrm{c}}+R_{\mathrm{cond}}},onde R_{\mathrm{conv}} é a resistência convectiva por unidade de comprimento e R_{\mathrm{cond}} é a resistência de condução através da parede cilíndrica (por unidade de comprimento).
  • Vou agora explicar cada fórmula usada.

Passo 3

Resistência convectiva por unidade de comprimento (aula curta e concreta):
  • Área de troca convectiva por unidade de comprimento do cilindro de raio r_{o} é A'_{\mathrm{conv}} = 2\pi r_{o} (m² por m de comprimento).
  • A resistência convectiva por unidade de comprimento é R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h A'_{\mathrm{conv}}}=\frac{1}{h\,(2\pi r_{o})}.
  • Substituindo h e r_{o} (peguei r_{o}=0{,}075\\ \mathrm{m} do enunciado): R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{100\cdot(2\pi\cdot0{,}075)}.

Passo 4

Resistência de condução na parede cilíndrica (aula sobre a fórmula):
  • Para condução radial estacionária em um cilindro o valor da resistência térmica entre raios r_{a} e r_{b} por unidade de comprimento é R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{b}}{r_{a}}\right)}{2\pi k}.Aqui k é a condutividade e o denominador 2\pi k vem da integração do fluxo radial; essa fórmula dá resistências em \mathrm{K}/\mathrm{W} para 1\\ \mathrm{m} de comprimento.
  • No nosso caso r_{a}=r_{o}=0{,}075\\ \mathrm{m} e r_{b}=r_{i}=0{,}025\\ \mathrm{m} se a corrente vai da superfície externa para a interna; tipicamente usa-se \ln(r_{o}/r_{i}). Assim R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o}}{r_{i}}\right)}{2\pi k}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}075}{0{,}025}\right)}{2\pi\cdot 10}.

Passo 5

Cálculo numérico das resistências (mostrando as contas com calma):
  • Primeiro a razão dos raios: \frac{r_{o}}{r_{i}}=\frac{0{,}075}{0{,}025}=3,e \ln(3)\approx 1{,}0986123.
  • Resistência de condução: R_{\mathrm{cond}}=\frac{1{,}0986123}{2\pi\cdot 10} =\frac{1{,}0986123}{62{,}8318531}\approx 0{,}01749\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • A resistência de contato foi dada: R_{\mathrm{c}}=0{,}01\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Portanto a resistência total da via interna é R_{\mathrm{in}}=R_{\mathrm{c}}+R_{\mathrm{cond}}=0{,}01+0{,}01749=0{,}02749\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Agora a resistência convectiva: R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{100\cdot(2\pi\cdot0{,}075)} =\frac{1}{100\cdot0{,}4712389} =\frac{1}{47{,}12389}\approx 0{,}0212207\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 6

Cálculo das potências por via e somatório final:
  • Potência conduzida para o interior (diferença T_{e}-T_{i}=25-5=20\\ \mathrm{K}): Q'_{\mathrm{in}}=\frac{T_{e}-T_{i}}{R_{\mathrm{in}}} =\frac{20}{0{,}02749}\approx 727{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
  • Potência perdida por convecção para o fluido (diferença T_{e}-T_{\infty}=25-(-10)=35\\ \mathrm{K}): Q'_{\mathrm{conv}}=\frac{T_{e}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{conv}}} =\frac{35}{0{,}0212207}\approx 1649{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
  • Potência total que o aquecedor deve fornecer por unidade de comprimento (soma das duas vias): Q' = Q'_{\mathrm{in}}+Q'_{\mathrm{conv}} \approx 727{,}4+1649{,}3 = 2376{,}7\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Resposta

Q'\approx 2377\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}

Exercícios relacionados