Um aquecedor de imersão deve elevar a temperatura de 1,50 \mathrm{~kg} de água de 10,0{ }^{\circ} \mathrm{C} para 50,0{ }^{\circ} \mathrm{C} em 10,0 minutos operando a 110 V .
(A) Qual é a resistência necessária do aquecedor?
(B) Calcule o custo do aquecimento da água.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (A) A resistência necessária do aquecedor para elevar a temperatura de água de 10,0^\circ\mathrm{C} para 50,0^\circ\mathrm{C} em 10,0 minutos operando a 110\\ \mathrm{V}.
  2. (B) O custo do aquecimento da água.
Informações dadas (anotei todas as quantidades numéricas do enunciado):
\begin{aligned} &\text{massa da água:}\quad m = 1,50\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{temperatura inicial:}\quad T_i = 10,0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura final:}\quad T_f = 50,0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{variação de temperatura:}\quad \Delta T = T_f - T_i = 40,0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{tempo:}\quad t = 10,0\\ \text{min},\\\ &\text{tensão elétrica:}\quad V = 110\\ \mathrm{V}. \end{aligned}áçããé
Observação importante (aceitei esta suposição para prosseguir): vou assumir que o aquecedor converte toda a energia elétrica em calor útil para a água (ou seja, eficiência 100\%). Se a eficiência for menor, a resistência e o custo reais serão maiores.

Passo 2

Conceito e fórmula para a energia térmica necessária:
Para elevar a temperatura de uma massa m de água por \Delta T usa-se a fórmula da energia térmica absorvida:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde
  • Q é a energia necessária (em joules, \mathrm{J}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • c é o calor específico da água (em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
O valor usual do calor específico da água à temperatura ambiente é
c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
Esse número significa que para aquecer 1\\ \mathrm{kg} de água em 1^\circ\mathrm{C} são necessários 4186\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calculemos a energia necessária substituindo na fórmula:
Q = m\,c\,\Delta T = 1,50\cdot 4186\cdot 40,0\\ \mathrm{J}.
Faço as contas em etapas:
4186\cdot 40,0 = 167440,
1,50\cdot 167440 = 251160.
Portanto
Q = 251160\\ \mathrm{J} \quad\text{(ou)}\quad Q = 2,5116\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Conceito de potência elétrica e relação com energia:
Potência média P é a energia por unidade de tempo:
P=\frac{Q}{t},
onde t está em segundos. Primeiro convertemos o tempo:
t = 10,0\\ \text{min} = 10,0\cdot 60 = 600\\ \mathrm{s}.
Agora a potência necessária:
P = \frac{251160}{600}\\ \mathrm{W}.
Faço a divisão:
P = 418,6\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o aquecedor precisa fornecer, em média, 418{,}6\\ \mathrm{W} para aquecer a água nesse intervalo de tempo.

Passo 5

Relação entre potência elétrica, tensão e resistência:
Para um resistor ôhmico (aquecedor resistivo) a potência pode ser escrita como
P = V\cdot I,
onde I é a corrente. Pela Lei de Ohm V = I R, então I = V/R. Substituindo em P,
P = V\cdot \frac{V}{R} = \frac{V^{2}}{R}.
Dessa expressão isolamos a resistência:
R = \frac{V^{2}}{P}.
Essa fórmula é muito prática: com a tensão da tomada e a potência desejada, obtemos a resistência do elemento aquecedor.

Passo 6

Calculemos a resistência substituindo V e P:
R = \frac{110^{2}}{418{,}6} = \frac{12100}{418{,}6}.
Faço a divisão:
R \approx 28{,}92\\ \Omega.
Arredondando para três algarismos significativos:
R \approx 28{,}9\\ \Omega.

Passo 7

Agora a parte (B): custo do aquecimento. Primeiro convertemos a energia Q para \mathrm{kWh}, que é a unidade usada na conta de energia elétrica comercial:
1\\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.
Logo a energia em \mathrm{kWh} é
E_{\text{kWh}} = \frac{Q}{3{,}6\times 10^{6}} = \frac{251160}{3{,}600{,}000}.
Faço a divisão:
E_{\text{kWh}} \approx 0{,}06977\\ \mathrm{kWh}.
Isto é, aquecer essa quantidade de água por 40{,}0^\circ\mathrm{C} gasta cerca de 0{,}06977\\ \mathrm{kWh}.

Passo 8

Fórmula do custo e exemplo numérico:
Seja p o preço da eletricidade em \mathrm{R\$/(kWh)}. O custo C é
C = E_{\text{kWh}}\cdot p = 0{,}06977\cdot p\quad(\mathrm{R\$}).
Observação: o enunciado não fornece o preço por kWh, por isso deixei o custo em função de p. Para ter uma ideia prática, apresento um exemplo numérico: se p = 0{,}80\\ \mathrm{R\$/(kWh)} (valor ilustrativo), então
C = 0{,}06977\cdot 0{,}80 \approx 0{,}0558\\ \mathrm{R\$},
ou seja, cerca de 5{,}6 centavos de real. Se quiser o custo com outro valor de p, basta multiplicar 0{,}06977 por esse valor.

Resposta

R \approx 28{,}9\\ \Omega
C = 0{,}06977\cdot p\\ \mathrm{R\$} (onde p é o preço em \mathrm{R\$/(kWh)}; ex.: se p=0{,}80\\ \mathrm{R\$/(kWh)} então C\approx 0{,}0558\\ \mathrm{R\$}).

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