O aquecimento de um forno de precisão será feito de modo que sua temperatura T, em ºC, será controlada para variar de acordo com a função T(t)=30.log2(3t+1)+25 sendo t o tempo, em minutos, decorridos desde o início do aquecimento.
a) Qual a temperatura do forno no instante em que é iniciado o aquecimento?
b) Após quantos minutos a temperatura atingirá 205 ºC?
a) T= 25ºC e após 21 minutos
b) T= 30ºC e após 21 minutos
c) T= 30ºC e 20 minutos
d) T= 25ºC e após 20 minutos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a temperatura de um forno muda com o tempo. A função que descreve essa relação é $ T(t) = 30 \cdot \log_2(3t + 1) + 25 $, onde $ T $ é a temperatura em graus Celsius e $ t $ é o tempo em minutos desde que o aquecimento começou. Vamos precisar entender um pouquinho de logaritmos e como resolver equações com eles para chegar nas respostas das partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): descobrir qual é a temperatura do forno no instante em que o aquecimento começa, ou seja, quando $ t = 0 $.

Passo 3

Substituímos $ t = 0 $ na função $ T(t) $:
t = 0
Simplificando dentro do logaritmo:
T(t)

Passo 4

Sabemos que qualquer logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a 0. Então:
log2(1) = 0
Portanto:
T(0) = 30 cdot 0 + 25 = 25

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): descobrir após quantos minutos a temperatura do forno vai atingir 205°C. Para isso, montamos a equação:
205 = 30 cdot log2(3t + 1) + 25
Primeiro, vamos isolar o termo com o logaritmo.

Passo 6

Subtraímos 25 de ambos os lados da equação:
205 - 25 = 30 cdot log2(3t + 1)
180 = 30 cdot log2(3t + 1)

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por 30 para isolar o logaritmo:
18030 = log2(3t + 1)
6 = log2(3t + 1)

Passo 8

Para resolver essa equação com logaritmo, usamos a definição do logaritmo: se $ \log_b(a) = c $, então $ b^c = a $. Aplicando isso aqui:
logb(a) = c
b^c = a

Passo 9

Agora, isolamos $ t $:
t
64 - 1 = 3t
63 = 3t

Resposta

a) A temperatura do forno no início do aquecimento é 25°C e b) a temperatura atingirá 205°C após 21 minutos. Portanto, a resposta correta é a opção a) T= 25ºC e após 21 minutos.

Exercícios relacionados