O aquecimento de um forno de precisão será feito de modo que sua temperatura T, em ºC, será controlada para variar de acordo com a função T(t)=30.log2(3t+1)+25 sendo t o tempo, em minutos, decorridos desde o início do aquecimento.
a) Qual a temperatura do forno no instante em que é iniciado o aquecimento?
b) Após quantos minutos a temperatura atingirá 205 ºC?
a) T= 25ºC e após 21 minutos
b) T= 30ºC e após 21 minutos
c) T= 30ºC e 20 minutos
d) T= 25ºC e após 20 minutos
a) Qual a temperatura do forno no instante em que é iniciado o aquecimento?
b) Após quantos minutos a temperatura atingirá 205 ºC?
a) T= 25ºC e após 21 minutos
b) T= 30ºC e após 21 minutos
c) T= 30ºC e 20 minutos
d) T= 25ºC e após 20 minutos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a temperatura de um forno muda com o tempo. A função que descreve essa relação é $ T(t) = 30 \cdot \log_2(3t + 1) + 25 $, onde $ T $ é a temperatura em graus Celsius e $ t $ é o tempo em minutos desde que o aquecimento começou. Vamos precisar entender um pouquinho de logaritmos e como resolver equações com eles para chegar nas respostas das partes a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): descobrir qual é a temperatura do forno no instante em que o aquecimento começa, ou seja, quando $ t = 0 $.
Passo 3
Substituímos $ t = 0 $ na função $ T(t) $:
Simplificando dentro do logaritmo:
Passo 4
Sabemos que qualquer logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a 0. Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): descobrir após quantos minutos a temperatura do forno vai atingir 205°C. Para isso, montamos a equação:
Primeiro, vamos isolar o termo com o logaritmo.
Passo 6
Subtraímos 25 de ambos os lados da equação:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados por 30 para isolar o logaritmo:
Passo 8
Para resolver essa equação com logaritmo, usamos a definição do logaritmo: se $ \log_b(a) = c $, então $ b^c = a $. Aplicando isso aqui:
Passo 9
Agora, isolamos $ t $:
Resposta
a) A temperatura do forno no início do aquecimento é 25°C e b) a temperatura atingirá 205°C após 21 minutos. Portanto, a resposta correta é a opção a) T= 25ºC e após 21 minutos.