((C[lll 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ]-[l 1 0 1 ][lll 1 & 0 & 1 ])^t)^-1=[ccc 1 & 2 & 0 -1 & -3 & -1 1 & 1 & -3 ]
(Aqui, A^t denota a transposta da matriz A.)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
l(l(C,A - u,v^!Tr)^tr)^-1 ;=; G,
onde
A=1&2&00&1&00&0&1, u=101, v^!T=1&0&1,
e
G=1&2&0-1&-3&-11&1&-3
A incógnita é a matriz C. Vamos usar as propriedades
(M^t)^-1=(M^-1)^t,e que (A) é invertível éí

Passo 2

Defina
X = C,A - u,v^!T
Então
l(X^tr)^-1=G Longrightarrow X^t=G^-1 Longrightarrow X=(G^-1)^t

Passo 3

Calculemos G^-1. Primeiro o determinante de G:
det G =1cdotdet-3&-11&-3 -2cdotdet-1&-11&-3 =10-8=2
A matriz adjuncta de G é
adj(G) =10&6&-2-4&-3&12&1&-1,
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G^-1=12,adj(G) = 5 & 3 & -1 -2 & -tfrac32 & tfrac12 1 & tfrac12 & -tfrac12
Portanto
X=(G^-1)^t = 5 & -2 & 1 3 & -tfrac32 & tfrac12 -1 & tfrac12 & -tfrac12

Passo 4

Calculemos também
u,v^!T =101 1&0&1 =1&0&10&0&01&0&1

Passo 5

Da definição X=C,A - u,v^!T temos
C,A = X + u,v^!T = 5&-2&1 3&-tfrac32&tfrac12 -1&tfrac12&-tfrac12 + 1&0&10&0&01&0&1 = 6 & -2 & 2 3 & -tfrac32 & tfrac12 0 & tfrac12 & tfrac12
Como
A^-1=1&-2&00&1&00&0&1,
segue
C = l(X + u,v^!Tr),A^-1 = 6 & -2 & 2 3 & -tfrac32 & tfrac12 0 & tfrac12 & tfrac12 1&-2&00&1&00&0&1

Passo 6

Fazendo a multiplicação obtemos
C = 6cdot 1 + (-2)cdot 0 + 2cdot 0 & 6cdot (-2) + (-2)cdot 1 + 2cdot 0 & 2 3cdot 1 + (-tfrac32)cdot 0 + tfrac12cdot 0 & 3cdot (-2) + (-tfrac32)cdot 1 + tfrac12cdot 0 & tfrac12 0cdot 1 + tfrac12cdot 0 + tfrac12cdot 0 & 0cdot (-2) + tfrac12cdot 1 + tfrac12cdot 0 & tfrac12 = 6 & -14 & 2 3 & -tfrac152 & tfrac12 0 & tfrac12 & tfrac12

Resposta

C = 6 & -14 & 2 3 & -tfrac152 & tfrac12 0 & tfrac12 & tfrac12

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