(vi) Se A tem uma coluna de zeros, então A B tem uma coluna de zeros.

Passo 1

O enunciado afirma que, para matrizes compatíveis A e B, “se A tem uma coluna de zeros, então AB tem uma coluna de zeros”. Nosso objetivo é avaliar a veracidade dessa afirmação usando a interpretação de colunas em produto de matrizes.

Passo 2

Lembre que a j-ésima coluna de AB é dada por
(AB)*j ;=; A,(B*j) ;=;sumi bi j,A*i,
ou seja, é combinação linear das colunas A*i usando como coeficientes os elementos bi j da coluna j de B.

Passo 3

Se A tem a k-ésima coluna nula, isto é A*k=0, então na combinação
sumibi j,A*i o termo bk j,A*k desaparece. Mas nada impede que, para cada coluna j de B, existam outros índices ineq k com A*ineq0 e bi jneq0, fazendo (AB)*jneq0.

Passo 4

Contraexemplo concreto: seja
A = 0 & 1[6pt] 0 & 1, B = 1 & 1[6pt] 1 & 1
Aqui A tem a primeira coluna nula. Mas
AB = 0cdot1+1cdot1 & 0cdot1+1cdot1[3pt] 0cdot1+1cdot1 & 0cdot1+1cdot1 = 2 & 2[3pt] 2 & 2,
que não possui nenhuma coluna zero.]

Resposta

A afirmação é falsa.

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