Mostre que o sistema linear
tem ou nenhuma solução, ou uma solução ou uma infinidade de soluções. Conclua que um sistema linear homogêneo tem ou uma solução ou uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um sistema linear
onde
é uma matriz
,
o vetor de incógnitas e
, as únicas possibilidades para o conjunto de soluções são: vazio, um ponto ou um conjunto infinito. Para isso vamos usar o posto (rank) da matriz e o critério de Rouché–Frobenius.
Passo 2
Definimos
como o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de
. Formamos também a matriz aumentada
de tamanho
e calculamos
. Pelo teorema de Rouché–Frobenius:
- Se
, o sistema é incompatível e não há nenhuma solução.
Passo 3
Se o sistema é compatível, então
Chamando
o número de incógnitas, há dois subcasos:
- Se
, não sobra variável livre: cada incógnita é pivô e a solução é única. - Se
, sobram variáveis livres. Cada valor atribuído a essas variáveis gera uma solução diferente, logo há infinitas soluções.
Passo 4
No caso homogêneo
, a matriz aumentada
tem o mesmo posto de
. Logo
sempre, e aplicando o passo anterior concluímos que o sistema homogêneo
ou tem solução única (
, só a solução trivial
) ou tem infinitas soluções (
, existem variáveis livres).
Resposta
O sistema
pode ter zero soluções (incompatível), uma solução única (quando
) ou infinitas soluções (quando
e é compatível).
O sistema homogêneo sempre é compatível e, portanto, tem ou apenas a solução trivial ou infinitas soluções.
O sistema homogêneo