Mostre que o sistema linear A X=B tem ou nenhuma solução, ou uma solução ou uma infinidade de soluções. Conclua que um sistema linear homogêneo tem ou uma solução ou uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um sistema linear
A X = B
onde A é uma matriz mtimes n, XinR^n o vetor de incógnitas e BinR^m, as únicas possibilidades para o conjunto de soluções são: vazio, um ponto ou um conjunto infinito. Para isso vamos usar o posto (rank) da matriz e o critério de Rouché–Frobenius.

Passo 2

Definimos rank(A) como o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de A. Formamos também a matriz aumentada (Amid B) de tamanho mtimes (n+1) e calculamos rank(Amid B). Pelo teorema de Rouché–Frobenius:
  • Se rank(A)neqrank(Amid B), o sistema é incompatível e não há nenhuma solução.

Passo 3

Se o sistema é compatível, então
rank(A)=rank(Amid B)=r
Chamando n o número de incógnitas, há dois subcasos:
  1. Se r = n, não sobra variável livre: cada incógnita é pivô e a solução é única.
  2. Se r < n, sobram n-r>0 variáveis livres. Cada valor atribuído a essas variáveis gera uma solução diferente, logo há infinitas soluções.

Passo 4

No caso homogêneo B=0, a matriz aumentada (Amid0) tem o mesmo posto de A. Logo
rank(A)=rank(Amid0)
sempre, e aplicando o passo anterior concluímos que o sistema homogêneo
A X = 0
ou tem solução única ( r=n, só a solução trivial X=0) ou tem infinitas soluções ( r<n, existem variáveis livres).

Resposta

O sistema A X = B pode ter zero soluções (incompatível), uma solução única (quando rank(A)=n) ou infinitas soluções (quando rank(A)<n e é compatível).
O sistema homogêneo A X=0 sempre é compatível e, portanto, tem ou apenas a solução trivial ou infinitas soluções.

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