Seja
uma função diferenciável. Determine uma condição para que
tenha derivada constante ao longo de uma elipse.
Passo 1
O enunciado quer saber que condição deve satisfazer uma função diferenciável
para que, ao ser restrita ao contorno da elipse
sua derivada ao longo dessa curva seja uma constante (independente do ponto). Vamos usar parametrização da elipse e o conceito de derivada direcional ao longo da curva.
Passo 2
Parametrizamos a elipse por
com
variando de
a
. Então a função composta é
A derivada de
ao longo da elipse é
Passo 3
Calculamos
e
:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Queremos
constante em
. Note que
e
. Logo
Para isso ser independente de
(isto é, constante em toda a elipse), deve existir
tal que, para todo
na elipse,
Dividindo ambos os lados por
fica mais simétrico:
Passo 5
A condição final é que, em toda a elipse
, valha
Resposta
Em toda a elipse
deve valer
com
constante.