Seja f(x, y) uma função diferenciável. Determine uma condição para que f(x, y) tenha derivada constante ao longo de uma elipse.

Passo 1

O enunciado quer saber que condição deve satisfazer uma função diferenciável f(x,y) para que, ao ser restrita ao contorno da elipse
x^2a^2+y^2b^2=1,
sua derivada ao longo dessa curva seja uma constante (independente do ponto). Vamos usar parametrização da elipse e o conceito de derivada direcional ao longo da curva.

Passo 2

Parametrizamos a elipse por
x(t)=acos t, y(t)=bsin t,
com t variando de 0 a 2pi. Então a função composta é
g(t)=fl(x(t),,y(t)r)
A derivada de f ao longo da elipse é
g'(t)=ddtfl(x(t),y(t)r) =fx(x,y),x'(t)+fy(x,y),y'(t)

Passo 3

Calculamos x'(t) e y'(t):
x'(t)=-asin t, y'(t)=bcos t
Substituindo em g'(t) obtemos
g'(t) =-asin t;fxl(acos t,bsin tr) +bcos t;fyl(acos t,bsin tr)

Passo 4

Queremos g'(t) constante em t. Note que
sin t=tfracyb e cos t=tfracxa. Logo
g'(t) =-ayb,fx(x,y)+bxa,fy(x,y) =-a,yb,fx(x,y)+b,xa,fy(x,y)
Para isso ser independente de t (isto é, constante em toda a elipse), deve existir lambdainR tal que, para todo (x,y) na elipse,
-a,yb,fx(x,y)+b,xa,fy(x,y)=lambda
Dividindo ambos os lados por ab fica mais simétrico:

Passo 5

A condição final é que, em toda a elipse tfracx^2a^2+tfracy^2b^2=1, valha
-yb^2;fx(x,y);+;xa^2;fy(x,y) =constante

Resposta

Em toda a elipse tfracx^2a^2+tfracy^2b^2=1 deve valer
-yb^2;fx(x,y);+;xa^2;fy(x,y)=lambda,
com lambda constante.

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