3-Ar está contido em um contêiner de 40 \mathrm{~m}^{3} a 450 K e 1,013.10^{5} \mathrm{~Pa} : Determine as seguintes propriedades da mistura de gás: a) fração molar de O 2 ; b) fração de volume de O 2 ; c) massa da mistura; d) concentração mássica de O2; e) concentração mássica de N2; f) concentração mássica do ar; g) peso molecular médio da mistura de gases.

Passo 1

O enunciado (dados) e o que é pedido:
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • Volume do contêiner: V=40\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Temperatura: T=450\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: p=1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • O fluido é ar seco (mistura de \mathrm{O_2} e \mathrm{N_2}). Não foi dada outra composição, portanto vou usar a composição padrão do ar seco por mol: fração molar de \mathrm{O_2} igual a 0,21 e fração molar de \mathrm{N_2} igual a 0,79. (Se houvesse umidade, precisaríamos dessa informação; como não foi dada, assumimos ar seco.)
  • Perguntas que o exercício faz (cada item que preciso responder):
    a) fração molar de \mathrm{O_2};
    b) fração de volume de \mathrm{O_2};
    c) massa da mistura (massa total do ar no contêiner);
    d) concentração mássica de \mathrm{O_2} (massa de \mathrm{O_2} por volume);
    e) concentração mássica de \mathrm{N_2};
    f) concentração mássica do ar (densidade da mistura);
    g) peso molecular médio da mistura de gases (massa molar média).
  • Observação importante: os valores numéricos que eu vou calcular dependem da suposição padrão da composição do ar ( y_{\mathrm{O_2}}=0,21, y_{\mathrm{N_2}}=0,79). Vou explicitar todas as fórmulas e passos para você poder reproduzir na prova.

Passo 2

Lei dos gases ideais e como vamos usá-la:
  • Para um gás ideal a relação entre pressão, volume, temperatura e quantidade de substância é dada por:
pV = n R T
onde:
  • p é a pressão absoluta ( \mathrm{Pa}),
  • V é o volume ( \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número total de mols ( \mathrm{mol}),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).
  • Da equação isolamos n:
n=\frac{pV}{R T}
Isso nos dá o número total de mols de ar no contêiner. Depois, usando as frações molares, obtemos os mols de \mathrm{O_2} e \mathrm{N_2}. Com os mols e as massas molares calculamos as massas e concentrações.

Passo 3

Cálculo do número total de mols n:
  • Substituindo os valores dados na lei dos gases ideais:
n=\frac{pV}{R T}=\frac{(1,013\times10^{5})\cdot(40)}{8,314\cdot450}
  • Calculemos passo a passo (explicando como fazer sem calculadora: você pode reduzir ordens de grandeza e depois ajustar; aqui eu apresento o resultado numérico com 4 dígitos significativos):
pV = 1,013\times10^{5}\cdot40 = 4,052\times10^{6}
R T = 8,314\cdot450 = 3,741,3
n=\frac{4,052\times10^{6}}{3,741,3}\approx 1\,083,6\\ \mathrm{mol}
Portanto, o número total de mols de ar no contêiner é aproximadamente \,n\approx 1\,083,6\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Fração molar de \mathrm{O_2} (item a) — identificação e valor:
  • Como expliquei no Passo 1, estou assumindo a composição típica do ar seco:
y_{\mathrm{O_2}}=0,21,\qquad y_{\mathrm{N_2}}=0,79.
  • A pergunta (a) pede a fração molar de \mathrm{O_2}. Então:
\text{(a) } y_{\mathrm{O_2}}=0,21.

Passo 5

Fração de volume de \mathrm{O_2} (item b) — ligação entre fração molar e fração volumétrica:
  • Para misturas de gases ideais, a fração volumétrica de um componente é igual à sua fração molar (porque volumes parciais dos gases ideais são proporcionais ao número de mols a mesma p e T).
  • Portanto a fração de volume de \mathrm{O_2} é igual a y_{\mathrm{O_2}}:
\text{(b) fração de volume de }\mathrm{O_2}=0,21.çã

Passo 6

Mols de cada componente (preparando para calcular massas):
  • Mols de \mathrm{O_2}:
n_{\mathrm{O_2}}=y_{\mathrm{O_2}}\,n=0,21\cdot1\,083,6\approx 227,6\\ \mathrm{mol}.
  • Mols de \mathrm{N_2}:
n_{\mathrm{N_2}}=y_{\mathrm{N_2}}\,n=0,79\cdot1\,083,6\approx 856,0\\ \mathrm{mol}.

Passo 7

Massas molares e cálculo das massas (item c):
  • Massas molares (valores usuais):
    • \displaystyle M_{\mathrm{O_2}}=32,00\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0,03200\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
    • \displaystyle M_{\mathrm{N_2}}=28,01\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0,02801\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Massa de \mathrm{O_2}:
m_{\mathrm{O_2}}=n_{\mathrm{O_2}}\,M_{\mathrm{O_2}}=227,6\cdot0,03200\approx 7,283\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de \mathrm{N_2}:
m_{\mathrm{N_2}}=n_{\mathrm{N_2}}\,M_{\mathrm{N_2}}=856,0\cdot0,02801\approx 23,97\\ \mathrm{kg}.
  • Massa total da mistura (item c):
m_{\text{total}}=m_{\mathrm{O_2}}+m_{\mathrm{N_2}}\approx 7,283+23,97\approx 31,25\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Concentrações mássicas (itens d, e, f) — definição e cálculo:
  • Definição: concentração mássica (densidade parcial ou densidade total) é massa por unidade de volume:
\text{concentração mássica}=\frac{m}{V}\quad(\mathrm{kg\,m^{-3}}).çãá
  • Concentração mássica de \mathrm{O_2} (item d):
\rho_{\mathrm{O_2}}=\frac{m_{\mathrm{O_2}}}{V}=\frac{7,283}{40}\approx 0,1821\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Concentração mássica de \mathrm{N_2} (item e):
\rho_{\mathrm{N_2}}=\frac{m_{\mathrm{N_2}}}{V}=\frac{23,97}{40}\approx 0,5993\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Concentração mássica do ar (densidade da mistura, item f):
\rho_{\text{ar}}=\frac{m_{\text{total}}}{V}=\frac{31,25}{40}\approx 0,7813\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
(Observe: \rho_{\text{ar}}=\rho_{\mathrm{O_2}}+\rho_{\mathrm{N_2}}, como deve ser.)

Passo 9

Peso molecular médio da mistura (item g) — definição e cálculo:
  • A massa molar média (peso molecular médio) de uma mistura é dada por:
\bar{M}=\sum_i y_i M_i
onde y_i são as frações molares e M_i as massas molares.
  • Aplicando ao ar (só \mathrm{O_2} e \mathrm{N_2} aqui):
\bar{M}=y_{\mathrm{O_2}}M_{\mathrm{O_2}}+y_{\mathrm{N_2}}M_{\mathrm{N_2}} =0,21\cdot0,03200+0,79\cdot0,02801
\bar{M}\approx 0,00672+0,02213\approx 0,02885\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Em unidades mais familiares: \bar{M}\approx 28,85\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.

Passo 10

Checagem rápida e observações finais:
  • Verificação de consistência: n\cdot\bar{M}=1\,083,6\cdot0,02885\approx 31,25\\ \mathrm{kg}, que é a massa total que calculamos — ótimo sinal de consistência.
  • Lembrete prático para prova: se você souber p,V,T e assumir mistura ideal, calcule n com a lei dos gases, use frações molares para separar mols de cada componente, multiplique por massas molares para obter massas, e divida por V para obter concentrações mássicas. Volume fracional = fração molar para gases ideais.

Resposta

(a) y_{\mathrm{O_2}}=0,21
(b) fração de volume de \mathrm{O_2}=0,21
(c) massa da mistura m_{\text{total}}\approx 31,25\\ \mathrm{kg}
(d) concentração mássica de \mathrm{O_2} \rho_{\mathrm{O_2}}\approx 0,1821\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
(e) concentração mássica de \mathrm{N_2} \rho_{\mathrm{N_2}}\approx 0,5993\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
(f) concentração mássica do ar (densidade) \rho_{\text{ar}}\approx 0,7813\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
(g) peso molecular médio \bar{M}\approx 0,02885\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}} (ou 28,85\\ \mathrm{g\,mol^{-1}})

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